פונקציות, ענפים הפוכים והרכבה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| bijection/baɪˈdʒekʃn/ | ביunction |
| involution/ɪnvəˈluːʃn/ | אינבולוציה |
החלטה לפני תשובה
- קידוד הפיך חייב להחזיר בדיוק כמות התפוקה. נוסחה לבד לא יכולה לקבוע האם החזרה אפשרית: חשובים בה התפוקות והקלט המותרים.
- המטרה שלך: להבחין בין חד-כיווניות (injectivity) ועל-כיווניות (surjectivity) באמצעות האזור והקודומיין המצוינים.
קראו את הקשר
- פונקציה מייחסת בדיוק תפוקה אחת לכל קלט מותר. חד-כיווניות פירושה שתפוקות שוות מחייבות קלטים שווים; על-כיווניות פירושה שכל אלמנט בקודומיין המצויין מושג. הפונקציה x↦x² מ-R ל-[0,∞) היא על-כיוונית אך לא חד-כיוונית. מ-[0,∞) ל-[0,∞) היא גם חד-כיוונית וגם על-כיוונית, ולכן בי-כיוונית. מ-[0,∞) ל-R היא עדיין חד-כיוונית אך מאבדת את העל-כיווניות. שמרו על האזור, התמונה והקודומיין נפרדים בבדיקת כל טענה.
- בחרו ואמתו ענף הפוך על ידי הרכבה בשני הכיוונים.
For f:[2,∞)→[−5,∞), f(x)=(x−2)²−5, what is f⁻¹(y)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The input restriction x≥2 forces x−2≥0, so select the positive square-root branch.
השתמשו בכלל המגדיר
- פונקציה הפוכה הופכת בי-כיוונית. פתרו y=f(x) עבור x, ולאחר מכן השתמשו באזור המקורי כדי לבחור ענף. עבור f(x)=(x−2)²−5 עבור x≥2, ההפוך הוא 2+√(y+5) עבור y≥−5. הענף השלילי יחזיר קלטים מחוץ לאזור הנבחר. בדקו f⁻¹(f(x))=x עבור x מותר ו-f(f⁻¹(y))=y עבור y מותר; הרכבה אחת שלא נבדקה עלולה להסתיר טעות באזור.
- עקבו אחרי הרכבה חוזרת של פונקציות תוך שמירה על האזור.
For g(x)=1/(1−x) on R excluding 0 and 1, what is g⁸(3)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The orbit is 3, −1/2, 2/3, then 3 again. Eight is congruent to two modulo three.
בדיקת התנאים
- גרף ההפוך מתבטא בגרף המקורי סביב y=x; הוא אינו לוקח מ обратные (הפוכים) של ערכי התפוקה. פונקציה עצמית-הפוכה, או אינבולוציה, מקיימת f(f(x))=x בכל מקום שבו ההרכבה מוגדרת. גם −x על R וגם 1/x על R פרט לאפס הן אינבולוציות. אינבולוציה מונית-עליה באינטרוול חייבת להיות זהות: אם f(x)>x, מוניות-עליה נותנת f(f(x))>f(x)>x, והארגומנט המקביל מרחיק את האפשרות f(x)<x.
- עקבו אחרי הרכבה חוזרת של פונקציות תוך שמירה על האזור.
עבור f(x)=(x−2)²−5 עם x≥2, מתקיים f(5)=4 ו-f⁻¹(4)=2+√9=5. הרבוע ללא מגבלות היה יוצר שני קלטים, −1 ו5, עם תפוקה 4. עבור g(x)=1/(1−x), האורביט 3→−1/2→2/3→3 היא בת תקופה שלוש, ולכן g⁸(3)=2/3; הספירה מתייחסת להרכבות, לא לחזקות eighth.
For h(x)=−x on R, the value of h(h(7)) is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Negation twice returns the original input; this map is an involution.
יישמו את פורמט המשימה
- איטרציה fⁿ מתייחסת להרכבה חוזרת, ולא לחזקה (f(x))ⁿ. חשב את ההרכבות הראשונות ובדוק את התחומים שלהם לפני שאתה מחפש מחזוריות. עבור f(x)=1/(1−x) ב-R באי-סדר 0 ו-1, מתקיים f²(x)=(x−1)/x ו-f³(x)=x. התמונה נשארת בתחום המותר. לכן, בצע הקטעה של מספר האיטרציות מודולו שלושה. נוסחה המוצגת השווה ל-x לאחר ביטול אינה משחזרת קלט אסור.
- עקבו אחרי הרכבה חוזרת של פונקציות תוך שמירה על האזור.
שינוי הקודומיין משנה את השריון. החזר אנכי לאורך y=x הוא גרף הפוך; הופכת ערכי y היא פעולה שונה. אל תבטל קלטים אסורים.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
הבדל בין היכנסיות והישרכות על בסיס התחום והקודומיין הנתונים
The function x↦x² from [0,∞) to R is surjective.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
No negative element of the codomain is reached. The image is only [0,∞).
שמרו על ההבחנות
- בייפקציה — פונקציה שהיא גם אינजेקטיבית וגם שריונית בין הקבוצות המצוינות שלה.
- אינבולוציה — פונקציה שההרכבה שלה עם עצמה היא זהות בתחומה.
- הבדל בין אינजेקטיביות ושריוניות על בסיס התחום והקודומיין המצוינים.
- בחרו ואמתו ענף הפוך על ידי הרכבה בשני הכיוונים.
- עקבו אחרי הרכבה חוזרת של פונקציות תוך שמירה על האזור.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.