שינויי קואורדינטות ותורת האינטגרל הווקטורי
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| divergence/daɪˈvɜːdʒəns/ | פיזור |
| conservative field/kənˈsɜːvətɪv fiːld/ | שדה שמרני |
החלטה לפני תשובה
- שדה וקטורי יכול להיות לו סירול אפס מחוץ לראשית הצירים בעוד שהמעגל שלו סביב הראשית אינו אפס. החור בתחום חשוב.
- המטרה שלך: לשנות אינטגרלים כפולים ושלוש-ממדיים עם ג'קוביאנים שלהם.
קראו את הקשר
- שינוי משתנים קושר את השטח או הנפח במונה הערך המוחלט של הקובץ היקומי. נקודות קוטביות משתמשות ב- r dr dtheta; נקודות צילינדריים משתמשות ב- r dr dtheta dz; נקודות כדוריות עם זווית phi הנמדדת מהציר z החיובי משתמשות ב- rho² sin(phi) dρ dphi dtheta. יש לפרט את קונבנציית הזוויות ולהמיר גם את הפונקציה בתוך האינטגרל וגם את האזור. אינטגרל של צפיפות אחידה שאינו מכיל את הקובץ היקומי יניב תוצאה פיזיקלית שגויה.
- הופעלו את משפט גרין, סטוקס ומשפט הדיוורגנס עם הכיוון הנכון.
What is the polar-coordinate area element?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The absolute Jacobian of (r cos(theta),r sin(theta)) is r.
השתמשו בכלל המגדיר
- משפט גרין שווה בין אינטגרל סירקולציה על הגבול המישורי בעל כיוון חיובי P dx+Q dy לבין אינטגרל כפול של Q_x−P_y על האזור. ההנחות המקובלות דורשות שהמשתנים החלקיים מסדר ראשון יהיו רציפים על קבוצה פתוחה המכילה את האזור. חור באזור דורש גבול פנימי בעל כיוון שלילי משלו, או טיפול תקין אחר לאזור החסר. המשפט אינו יכול לחשב אינטגרל דרך סינגולריות של השדה.
- בדקו סינגולריות באזור לפני שתטענו על אי-תלות במסלול.
For F=(x,y,z), what is the outward flux through the unit sphere?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Divergence is 3 and unit-ball volume is 4π/3, so outward flux is 4π.
בדיקת התנאים
- משפט סטוקס שווה בין סירקולציה על גבול המשטח לבין אינטגרל המשטח של curl F כפול הנורמל המכוון. כלל היד הימנית מקשר בין כיוון הגבול לנורמל. משפט הדיוורגנס שווה בין פלוקס החוצה על פני משטח סגור לבין אינטגרל הנפח של div F. סירקולציה, פלוקס, קרל ודיוורגנס הם מושגים נפרדים; משפט הדיוורגנס המקובל דורש פני משטח סגורים.
- בדקו סינגולריות באזור לפני שתטענו על אי-תלות במסלול.
עבור F=(x,y,z), התפרקות היא 3. לכן, הנפיצה החוצנית דרך הכדור ברדיוס 2 היא 3 כפול נפחו, או 3·(4π·2³/3)=32π. זאת נמנעת מפרמטריזציה של פני השטח. עבור השדה המישורי (−y,x), משפט גרן נותן סירקולציה בכיוון נגד כיוון השעון על מעגל היחידה כאינטגרל של 1−(−1)=2 על העיגול, ולכן 2π. הפכת הכיוון משנה את סימן הסירקולציה.
For F=(2x,3y,4z), the divergence is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Differentiate matching coordinates and add 2+3+4.
יישמו את פורמט המשימה
- לשדה גרדיאנטי יש אינטגרלי קו עצמאי במסלול, הנקבעים על ידי הפרשי פוטנציאל בין הנקודות הקצה. שדה רציף-גראדיאנטי וחסר קרל בקבוצה פתוחה פשוטה-קושרה הוא שמרני. חוסר קרל לבדו בקבוצה עם חור אינו מספיק. עבור F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)), המקור נשלל; סירקולציה על מעגל היחידה היא 2π, למרות שקרל הוא אפס בכל מקום בו השדה מוגדר.
- בדקו סינגולריות באזור לפני שתטענו על אי-תלות במסלול.
קרל אפס אינו מספיק כאשר לאזור יש חור. פלוקס החוצה וסירקולציה נגד כיוון השעון משתמשים במשמטים ובכללי כיוונים שונים.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
המרת אינטגרלים כפולים ומשולשים עם גקוביאנים
A curl-free field on the punctured plane is always conservative.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The angular field in the lesson has zero curl away from zero but unit-circle circulation 2π, so it cannot be a global potential gradient there.
שמרו על ההבחנות
- דיוורגנס — סכום המשתנים החלקיים לפי רכיבי שדה וקטורי, המודד זרימה מקומית החוצה.
- שדה שמרני — שדה וקטורי השווה לגרדיאנט של פוטנציאל סקלארי, ואינטגרלי הקו שלו עצמאיים במסלול.
- המירו אינטגרלים כפולים ושלוש-ממדיים יחד עם הקובצים היקומיים שלהם.
- הופעלו את משפט גרין, סטוקס ומשפט הדיוורגנס עם הכיוון הנכון.
- בדקו סינגולריות באזור לפני שתטענו על אי-תלות במסלול.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.