אקסטרימה רב-משתתית ואופטימיזציה מוגבלת
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Hessian/ˈheʃn/ | מטריצת היזיאן |
| Lagrange multiplier/ˈlæɡreɪndʒ ˌmʌltɪˈplaɪə/ | מכפיל לורנץ' (לאגראנג' |
החלטה לפני תשובה
- גרדיאנט אפס יכול לזהות מינימום, מקסימום או נקודת סדן. הוא יכול גם לכשל לסווג מינימום רגיל לחלוטין.
- המטרה שלך: לסווג נקודות קריטיות דו-משתתיות באמצעות ההסיאן.
קראו את הקשר
- עבור פונקציה נגזרת בתחום פתוח, לקיצון מקומי פנימי יש גרדיאנט אפס. תנאי זה הוא הכרחי אך לא מספיק. בשני משתנים בנקודה קריטית, נניח D=f_xx f_yy−(f_xy)². אם D>0, f_xx>0 מעניק מינימום מקומי מוצק ו-f_xx<0 מעניק מקסימום מקומי מוצק; D<0 מעניק נקודת סדן. מבחנים אלו דורשים רגולריות מתאימה של הנגזרת השנייה סביב הנקודה.
- השתמש במכפלי לורנז עם אילוץ רגולרי.
At a critical point f_xx=2, f_yy=−2 and f_xy=0. What does the second-derivative test give?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
D=2(−2)−0²=−4, so the point is a saddle.
השתמשו בכלל המגדיר
- כאשר D=0 המבחן של הנגזרת השנייה הוא חסר הסבר, ולא עדות לקיום נקודת סדן. הפונקציות x⁴+y⁴ ו-x⁴−y⁴ בעלות אותו הסיאן אפס בראשית הצירים, אך אחת מהן יש לה מינימום מוצק והשנייה משנה סימן. הערך לאורך כיוונים מנוגדים או השתמש בא-שוויון ישיר. עבור צורה ריבועית, חיוביות מוחלטת נותנת פרשנות הסיאן כללית יותר.
- השוו בין קיצונים וערכים שניתן להשיג תחת אילוצים רגולריים.
What is the maximum of xy subject to x²+y²=2?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
(x−y)²≥0 implies 2xy≤x²+y²=2. Equality occurs at (1,1) and (−1,−1).
בדיקת התנאים
- על אילוץ שוויון חלק g(x,y)=c עם גרדיאנט אי-אפס של g, פתור gradient f=lambda gradient g יחד עם g=c. משוואות אלו מייצרות מועמדים; הן אינן מסוגות או מבטיחות קיצון גללי. אם גרדיאנט האילוץ מתאפס, תנאי הרגולריות נכשל ומשוואות המכפלים עלולות לפספס קיצון מוגבל. טפל בנקודות כאלה בנפרד. עבור x²+y²=a ו-xy=b>0, (x−y)²=a−2b מראה הכרחיות a≥2b. זה גם מספיק: נניח s=√(a+2b), d=√(a−2b), x=(s+d)/2 ו-y=(s−d)/2. ערכים אלו ממשיכים ויש להם xy=b ו-x²+y²=a. תנאי מינימום בלבד זקוק לבדיקת הזמינות זו כדי לקבוע פתרונות.
- השוו בין קיצונים וערכים שניתן להשיג תחת אילוצים רגולריים.
מזער את x²+y² תחת התנאי x+y=6. גרדיאנט האילוץ הוא (1,1), ולכן 2x=lambda ו-2y=lambda. מכאן x=y והאילוץ נותן x=y=3, עם ערך 18. השלמת ריבוע על הישר נותנת x²+(6−x)²=2(x−3)²+18, ומוכיחה מינימום גללי. אין מקסימום על ישר בלתי-מוגבל זה, למרות קיום מועמד מכפלים.
The minimum value of x²+y² on x+y=4 is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The minimising point is (2,2), giving 4+4=8, or complete the square.
יישמו את פורמט המשימה
- פונקציה רציפה על קבוצת אפשרויות קומפקטית מגיעה לקיצונים גלליים. למצוא אותם, השוו בין כל המועמדים הפנימיים ובין כל חלקי הגבול, כולל פינות ונקודות קצה. עבור מלבן, אופטימיזציה של ההגבלות על כל קצה. עבור דיסק, הגבול המעגלי עשוי להשתמש בפארמטר או במכפלים. פתרון רק של גרדיאנט בלתי-מוגבל מתעלם מנצחי גבול אפשריים.
- השוו בין קיצונים וערכים שניתן להשיג תחת אילוצים רגולריים.
פתרון מכפלי לורנז הוא מועמד, ולא בהכרח מקסימום או מינימום. בדוק רגולריות ואת הקבוצה האפשרותית המלאה.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
סיווג נקודות קריטיות דו-משתתיות באמצעות מטריצת היסן
D=0 at a critical point proves that point is a saddle.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The test is inconclusive; x⁴+y⁴ has D=0 at a strict minimum.
שמרו על ההבחנות
- הסיאן — המטריצה של הנגזרות החלקיות השנייה המשמשת לחקר כימורת מקומית.
- מכפלת לורנז — סקאלר המקשר בין גרדיאנט הפונקציה וגרדיאנט האילוץ הרגולרי בנקודת קיצון מוגבלת.
- סווג נקודות קריטיות דו-משתתיות באמצעות ההסיאן.
- השתמש במכפלי לורנז עם אילוץ רגולרי.
- השוו בין קיצונים וערכים שניתן להשיג תחת אילוצים רגולריים.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.