פיתוחי טיילור ונקודות קצה של סדרות כוח
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | שארית |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | רדיוס התכנסות |
החלטה לפני תשובה
- פולינום יכול לקרב פונקציה טרנסצנדנטלית בסמוך לנקודה, אך קירוב ללא סף שגיאה יכול לתת אי-שוויון שגוי.
- המטרה שלך: לבנות פולינומי טיילור ולהפעיל שליטה על שגיאת הקירוב.
קראו את הקשר
- פולינום טיילור בדרגה m בנקודה a הוא סכום f^(k)(a)(x−a)^k/k! עבור k מאפס עד m. הפקטוריאל שייך לכל מקדם. אם הנגזרת הבאה מוגבלת בגודלה על ידי M בין a ל-x, שאריות Lagrange יהיו בגודל של מקסימום M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. חלקות לבדן אינה מבטיחה שהסדרה האינסופית של טיילור תתאים לפונקציה בכל מקום.
- קבע את רדיסי ההתכנסות ובדוק את הקצוות בנפרד.
What is the coefficient of x³ in the Maclaurin series of e^(2x)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The coefficient is 2³/3!=8/6=4/3; the factorial cannot be omitted.
השתמשו בכלל המגדיר
- סדרת כוחות מסוג ∑ c_n(x−a)^n מתכנסת באופן מוחלט בתוך רדיוס ההתכנסות R ומתפזרת מחוצה לה. בדרך כלל נקבע R באמצעות בדיקות יחס או שורש, כאשר הערכים האפשריים הם אפס ואינסוף. בנקודות הקצה x=a−R ו-x=a+R הבדיקה לעיתים אינה מכריעה; יש להציב כל קצה בסדרה המקורית. התנהגות הקצוות עשויה להיות שונה.
- גזרו ואינטגרלו סדרות כוח בתוך תחום ההתכנסות שלהן.
Which is the interval of convergence of sum x^n/n² for n≥1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The radius is 1 and both endpoints converge absolutely by comparison with sum 1/n².
בדיקת התנאים
- בתוך התחום הפתוח של ההתכנסות, גזירה ואינטגרציה טרם-טרם שומרות על הרדיוס. הן יכולות לשנות האם הקצוות כלולים. התחילו מהסדרה הגיאומטרית 1/(1−x)=∑ x^n עבור |x|<1, ולאחר מכן אינטגרציה מאפס ועד x לקבלת −ln(1−x)=∑ x^n/n עבור n≥1. בדקו את קבוע האינטגרציה ותחום ההגדרה של הלוגריתם הממשי.
- גזרו ואינטגרלו סדרות כוח בתוך תחום ההתכנסות שלהן.
עבור ∑ x^n/n עם n≥1, בדיקת היחס נותנת רדיוס 1. ב-x=1 זו סדרה הרמונית מתפזרת; ב-x=−1 זו סדרה סינונית מתכנסת. לכן, תחום ההתכנסות הממשי הוא [−1,1). גזירה בתוך התחום נותנת ∑ x^(n−1)=1/(1−x), שאינה מתכנסת בשום קצה. הרדיוס נשאר 1 בעוד שהכללת הקצוות השתנתה.
The limit of (e^x−1−x)/x² as x tends to zero is ____ (decimal).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
e^x=1+x+x²/2+O(x³), leaving a quotient tending to 1/2.
יישמו את פורמט המשימה
- סדרות פותרות גם צורות גבול חסרות הגדרה. כדי לחשב (e^x−1−x)/x² בקרבת אפס, שמרו על האיבר הראשון הנשאר x²/2 ולא רק על e^x≈1+x. חיתוך אסימפטוטי מקבע את הגבול; אי-שוויון בתחום סופי דורש הוכחה נפרדת לגבי סימן או גודל של שארית. אל תציבו בסדרה מחוץ לתחום ההתכנסות שלו.
- גזרו ואינטגרלו סדרות כוח בתוך תחום ההתכנסות שלהן.
רדיוס אינו תחום התכנסות מלא. בדיקות קצוות וקואפיציינטים פינורמיאליים חייבים לבדוק במפורש.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
בניית פולינומי טיילור ובקרה בשגיאת הקירוב
Differentiating a power series always preserves endpoint convergence.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sum x^n/n converges at −1, but its differentiated geometric series does not.
שמרו על ההבחנות
- רדיוס התכנסות — המרחק ממרכז הסדרה בתוך שהוא סדרת כוח מתכנסת באופן מוחלט.
- שארית — ההפרש בין פונקציה לבין הקירוב הסופי שלה.
- בנהו פולינומי טיילור ושלוטו בשגיאת הקירוב.
- קבע את רדיסי ההתכנסות ובדוק את הקצוות בנפרד.
- גזרו ואינטגרלו סדרות כוח בתוך תחום ההתכנסות שלהן.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.