קבוצות, קוסטות ומפות מנה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| coset/ˈkɒset/ | קוסיט |
| normal subgroup/ˈnɔːml ˈsʌbɡruːp/ | תת-קבוצה נורמלית |
החלטה לפני תשובה
- תשע עמדות שעון ניתן לחלק לשלוש קבוצות ללא אובדן הכלל הסכתי השעות. אילו עמדות חייבות להיות שוות? (הערה: הטקסט המקורי מזכיר 'Twelve' - 12 עמדות, אך התרגום מדויק לפי המספר המקורי).
- המטרה שלך: ודא מבנה קבוצה וחשב סדר אלמנטים ואינדקסים של תת-קבוצות.
קראו את הקשר
- לפני חישוב סדר, בדוק סגירות, אסוציאטיביות, אלמנט זהות והתאמה לכל אלמנט תחת הפעולה המוגדרת. תת-קבוצה יכולה לרשת אסוציאטיביות אך לכשל בסגירה או לדלג על הזהות. בקבוצה סופית, סדר אלמנט הוא מעלה חיובית מינימלית הנותנת את הזהות. בקבוצה האדיטיבית Z/nZ, זהו כפולה חיובית מינימלית הנותנת אפס; סדר המיאוד a הוא n/gcd(a,n). משפט לגראנז' אומר שסדר תת-קבוצה מחלק את סדר הקבוצה. ההפך אינו משפט קיום כללי, וסדר קבוצה אינו סדרו של כל אלמנט.
- השתמש בגרעינים ותמונות כדי לזהות קבוצות מנה.
What is the order of 8 in the additive group Z/20Z?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The least positive k with 8k divisible by 20 is 5; equivalently 20/gcd(8,20)=5.
השתמשו בכלל המגדיר
- קוסט שמאלי gH הוא הזזה של תת-קבוצה H. הקוסטים הם בעלי אותו גודל ומפרקים את הקבוצה, ולכן האינדקס הוא |G|/|H| בקבוצה סופית. בקבוצה אדיטיבית כתוב g+H. השייכות לאותו קוסט אומרת שההפרש נמצא ב-H. קוסט בדרך כלל אינו תת-קבוצה כי עשוי לדלג על הזהות.
- הבדל בין תת-קבוצות נורמליות לתת-קבוצות אקראיות.
A homomorphism from a finite group of order 30 has kernel of order 5. How many elements are in its image?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Fibres are kernel cosets of size 5, so the image has 30/5=6 elements regardless of the codomain size.
בדיקת התנאים
- הומומורפיזם שומר על הפעולה. הגרעין שלו מורכב מאלמנטים הנשלחים לזהות, והתמונה שלו מורכבת מערכים שהושגו בפועל. כל גרעין הוא נורמלי. משפט האיזומורפיזם הראשון מזהה G/ker(phi) עם im(phi); אל תחליף את התמונה בטווח היעד המלא אלא אם כן הפונקציה היא על. (onto).
- סווג התאומיות (conjugacy) של התמטות לפי סוג המחלקות.
הגדר phi מ-Z/12Z ל-Z/3Z על ידי הורדת שאריות מודולו 3. היא על ושומרת על סכום. הגרעין H הוא {0,3,6,9}, ולכן |H|=4 והאינדקס הוא 12/4=3. הקוסטים האחרים הם {1,4,7,10} ו-{2,5,8,11}. כך ש-(Z/12Z)/H איזומורפי ל-Z/3Z. האלמנט 3 בקבוצה המקורית יש סדר 12/gcd(3,12)=4, לא 3.
The permutation (1 2 3)(4 5) has order ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Disjoint cycles require a multiple of both 3 and 2 steps; lcm(3,2)=6.
יישמו את פורמט המשימה
- כפל מנה מוגדר היטב רק כאשר H נורמלי. כל תת-קבוצות של קבוצה אבליאנית הן נורמליות. בקבוצה לא-אבליאנית בדוק gHg^−1=H; תת-קבוצה בעלת אינדקס שניים היא נורמלית. להתמטות, הרכב לפי הקונבנציה המוגדרת כאן, מימין לשמאל (rightmost first). אורכי מחלקות זרים נותנים את סדר ההתמטה על ידי המכפלה המשותפת הקטנה ביותר שלהם. התאומות hσh⁻¹ משנה תווית של אלמנטים במחלקות של σ, ולכן שומרת על אורכי מחלקות; ההפך, התמטות בעלות אותם אורכי מחלקות ניתן לקשר על ידי שינוי תווית. כך שמחלקות התאומות ב-S_n מתאימות לחלוקות של n, כולל מחלקות של נקודות קבועות. ב-S4 הסוגים הם 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 ו4: חמש מחלקות, ולא מחלקה אחת לכל סדר אלמנט אפשרי. הסוגים 2+1+1 ו2+2 שניהם בעלי סדר שניים אך אינם מתאומים.
- סווג התאומיות (conjugacy) של התמטות לפי סוג המחלקות.
לקבוצת מנה יש אלמנט אחד לכל קוסט, ולא אחד לכל אלמנט בגרעין שלה. הומומורפיזם אינו חייב להיות על טווח היעד המוגדר.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
אמת מבנה קבוצה וחשב סדרים של אלמנטים ואינדקסים של תת-קבוצות
Every subgroup of a nonabelian group is normal.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
In S3, conjugating the subgroup {identity,(1 2)} by (1 2 3) gives {identity,(2 3)}, a different subgroup.
שמרו על ההבחנות
- קוסט — העתקה של תת-קבוצה המהווה חלק אחד מהחלוקה לקוסטים.
- תת-קבוצה נורמלית — תת-קבוצה שאינה משתנה בהצטגות על ידי כל אלמנט בקבוצה.
- ודא את מבנה הקבוצה וחשב סדרים של אלמנטים ואינדקסים של תת-קבוצות.
- השתמש בגרעינים ותמונות כדי לזהות קבוצות מנה.
- הבדל בין תת-קבוצות נורמליות לתת-קבוצות אקראיות.
- סווג התאומיות (conjugacy) של התמטות לפי סוג המחלקות.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.