אנליזה מורכבת ושאריות (residues)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| residue/ˈresɪdjuː/ | שארית |
| analytic/ˌænəˈlɪtɪk/ | אנליטית |
החלטה לפני תשובה
- פונקציה חלקה בשני קואורדינטות ממשיות עשויה להכשל בהיבדלות מרוכבת.
- המטרה שלך: לבחון היבדלות מרוכבת.
קראו את הקשר
- כתוב f(z)=u(x,y)+iv(x,y). נגזרות מרוכבות מחייבות את משוואות קושי-רימן: u_x=v_y ו-u_y=v_x; כאשר הנגזרות החלקיות הראשונות רציפות מקומית, משוואות אלו מבטיחות אנליטיות באזור זה. הן שונות מנגזרות אמיתית של פונקציה דו-ממדית. הפונקציה המרוכבת ההתאומה x−iy אינה עומדת במשוואות אלו בשום שכונה פתוחה, למרות שקיימות לה נגזרות חלקיות אמיתיות. ציין את האזור שנבדק, ולא רק נקודה נוחה.
- השתמש באינטגרלי קו והשאריות.
The residue of 3/(z−1) at z=1 is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The coefficient of the simple-pole term is 3.
השתמשו בכלל המגדיר
- פונקציה אנליטית היא נגזרת מרוכבת בכל שכונה ויש לה סדרת כוחות מתכנסת מקומית. סינגולריות הניתנת לסילוק ניתנת לטיפול אנליטי כאשר הפונקציה מוגבלת בסמוך לנקודה החסרה. קוטב יש לו חלק ראשי סופי בסדרת לורנט; סינגולריות הכרחית (essential) יש לה אינסוף איברים עם מעריכי כוח שליליים. המיאוד (residue) הוא המקדם של (z−a)⁻¹, ולא בהכרח האיבר בעל המעריך השלילי הגדול ביותר או המוביל.
- חשב אינטגרלים בקונטור באמצעות מיאודים של קוטבים פשוטים ומעריכים גבוהים.
A positively oriented circle enclosing only that pole gives integral:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Multiply residue 3 by 2πi.
בדיקת התנאים
- עבור קוטב בודד מסדר m, כתוב f(z)=g(z)/(z−a)^m כאשר g אנליטית ב-a. המיאוד הוא g^(m−1)(a)/(m−1)!. קוטב פשוט משתמש ב-g(a); קוטב כפול משתמש ב-g′(a). דבר נובע מהפיתוח של g בסדרת טיילור. מכאן ש-e^z/(z−a)² יש מיאוד e^a, בעוד שמספר ממנוח קבוע על קוטב כפול טהור יש מיאוד אפס. סדר הקוטב לבדו אינו קובע את הערך של האינטגרל בקונטור.
- חשב אינטגרלים בקונטור באמצעות מיאודים של קוטבים פשוטים ומעריכים גבוהים.
עבור f(z)=conjugate(z), יש u=x ו-v=−y. אז u_x=1 אך v_y=−1, ולכן f אינה נגזרת מרוכבת. עבור 1/(z−2), מעגל עם כיוון חיובי |z−2|=1 חוסם קוטב פשוט עם מיאוד 1, ולכן האינטגרל הוא 2πi.
The residue of 5/z at zero is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The Laurent coefficient of z^-1 is 5.
יישמו את פורמט המשימה
- עבור קונטור עם כיוון חיובי החוסם סינגולריות בודדות, משפט המיאוד נותן ∮f(z)dz=2πi כפול סכום המיאודים החסומים, בתנאי שהפונקציה אנליטית על הקונטור ובשאר האזור הפנימי הנדרש. שינוי הכיוון משנה את הסימן. נוסחת הנגזרות של קושי היא ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! בתנאי התחום האנליטי שלה. סינגולריות על הקונטור מונעת יישום ישיר; סינגולריות מחוץ לקונטור תורמת כלום לאינטגרל הזה.
- חשב אינטגרלים בקונטור באמצעות מיאודים של קוטבים פשוטים ומעריכים גבוהים.
רציפות או נגזרות אמיתית לבדן אינן מעידות על אנליטיות מרוכבת.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
בדוק נגזרות מרוכבות
Every continuous complex function is analytic.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Complex differentiability imposes Cauchy–Riemann conditions.
What is the residue of e^(2z)/(z−1)³ at z=1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
For a triple pole use g″(1)/2! with g(z)=e^(2z). Its second derivative is 4e^(2z), so the residue is 2e².
שמרו על ההבחנות
- אנליטית — היבדלת מרוכבת בכל הסביבה.
- שארית — המקדם של (z−a)^−1 בסדרת לורן.
- לבחון היבדלות מרוכבת.
- השתמש באינטגרלי קו והשאריות.
- חשב אינטגרלים בקונטור באמצעות מיאודים של קוטבים פשוטים ומעריכים גבוהים.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.