קאלקולוס רב-משתנה וניתוח וקטורי
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | גרדיאנט |
| Jacobian/dʒæˈkəʊbɪən/ | ג'קוביאני |
החלטה לפני תשובה
- למדרון הררי ישנם הרבה שיפועים בנקודה אחת. כיוון ההליכה קובע איזה שיפוע תחווה.
- המטרה שלך: לחשב נגזרות חלקיות, גרדיאנט ונגזרות בכיוון.
קראו את הקשר
- נגזרת חלקית משנה קואורדינat אחת תוך שימור האחרות. עבור f=x²+3xy, f_x=2x+3y ו-f_y=3x. הגרדיאנט אוסף נגזרות אלו; אם f נגזרת, הנגזרת הכיוונית לאורך וקטור יחיד v היא grad f·v. נרמל את הכיוון לפני ביצוע מכפלה נקודתית זו. וקטור כיוון באורך שניים יכפיל פי שניים את התשובה אם יושמש ללא נרמול.
- השתמש באינטגרלים מרובים ובשינוי מערכת צירים.
Partial derivative with respect to x of x²y is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Treat y as constant.
השתמשו בכלל המגדיר
- נגזרות משמעותה קירוי לינירי תקף, ולא רק קיום של חלקי נגזרות מסוימים בנקודה אחת. רציפות של חלקי נגזרות ראשונים בסביבה היא תנאי מספיק. עבור פונקציה מורכבת f(x(t),y(t)), כלל השרשרת נותן f_x x′+f_y y′. נגזרות שניות יכולות להכיל גם איברים ישירים וגם מעורבים; אפס של חלקית נגזרת מעורבת לבדו אינו מטיל הגבלה על חלקיות נגזרות טהורות.
- השתמש בתנאי נגזרה כדי להבדיל בין מישורים למשטחים מעוגלים.
The polar area element is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The Jacobian of the polar transformation is r.
בדיקת התנאים
- אינטגרל כפול סוכם תרומות מעל אזור מצוין. תאר את האזור לפני בחירת גבולות איטרטיביים; גבולות שאינם מלבניים עשוייםשתנות כאשר הסדר משתנה. בקואורדינטות קוטביות השטח הוא r dr dtheta, לא רק dr dtheta. שינוי קואורדינטות כללי משתמש בערך המוחלט של מכפלת ז'קוביאני. סימן שייך לגודלים וקטוריים ממונים, בעוד שהתאמת שטח ונפח משתמשת בגורל אי-שלילי.
- השתמש בתנאי נגזרה כדי להבדיל בין מישורים למשטחים מעוגלים.
עבור f(x,y)=x²+3y², הגרדיאנט של f=(2x,6y). בנקודה (1,1) זה שווה ל-(2,6). בכיוון (3,4), הווקטור היחיד הוא (3/5,4/5), מה שמספק נגזרת כיוונית 2·3/5+6·4/5=6.
The magnitude of vector (3,4) is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Use sqrt(3²+4²)=5.
יישמו את פורמט המשימה
- אם שתי חלקיות הנגזרות הראשונות של פונקציה מוגדרת על R² הן קבועות, f_x=a ו-f_y=b, אינטגרציה רצופה נותנת f=ax+by+c, מישור. זה לא ניתן להסקה מקווי דרגה ישרים מקבילים בלבד: e^x יש קווים מקבילים אנכיים אך גרף מעוגל. גם f_xy=f_yx=0 אינם מחייבים מישור: x²+y² מהווה נגד לדבר. יש להבחין בין קבועות נגזרה ראשונה לבין העדר תלות מעורבת ולצורת קווי הדרגה הנבחרים.
- השתמש בתנאי נגזרה כדי להבדיל בין מישורים למשטחים מעוגלים.
וקטור כיוון שאינו יחיד מספק קצב כיווני מושכל, ולא הנגזרת לפי יחידת מרחק.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
חשב נגזרות חלקיות, גרדיאנטים ונגזרות כיווניות
Orientation never affects a line integral around a boundary.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Reversing orientation changes a directed line integral’s sign.
שמרו על ההבחנות
- גרדיאנט — וקטור של נגזרות חלקיות.
- יקוביאן — קנה המידה המקומית לשטח או נפח בשינוי מערכת צירים.
- לחשב נגזרות חלקיות, גרדיאנטים ונגזרות כיווניות.
- השתמש באינטגרלים מרובים ובשינוי מערכת צירים.
- השתמש בתנאי נגזרה כדי להבדיל בין מישורים למשטחים מעוגלים.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.