יישום ק্যালקולוס
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| optimisation/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | אופטימיזציה |
| constraint/kənˈstreɪnt/ | מגבלה |
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | שיעורי שינוי קשורים |
| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | שטח בין שתי עקומות |
| marginal cost/ˈmɑːdʒɪnl kɒst/ | עלות שולית |
| marginal revenue/ˈmɑːdʒɪnl ˈrevənjuː/ | הכנסה שולית |
נפח קבוע מגביל את העיצוב
- דגם לימודי צילינדר סגור מכיל 500 ס"מ קוב, עם עליון ותחתון שטוחים וללא התייחסות לתפרים. רדיוסו וגובהו אינם יכולים להיות נבחרים באופן עצמאי.
- אופטימיזציה מוצאת מקסימום מינימום נדרשים בתוך תחום אפשרות נתון; ההנחות הפיזיקליות הן חלק מהמודל.
הפחתת משתנים והשוואת מועמדים
- השתמשו ב-הגבלה כדי לבטא את המטרה כתלות במשתנה אחד. עבור צילינדר סגור, $h=500/(\pi r^2)$ ו$A(r)=2\pi r^2+1000/r$, עם $r>0$.
- גזרו למציאת מועמדים ניצבים (stationary), ולאחר מכן הנחיחו את הסיווג ובדקו גבולות רלוונטיים. עבור בחירות שלמה, השוו ערכים שלמים שכנים אפשריים במקום לטפל במועדף פרקטי כתשובה מותרת.
סדר את שלבי שאלת מינימום/מקסימום (אופטימיזציה).
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
הגדר את היעד ותחום ההכנה, השתמש במגבלה כפי הנדרש, מצא מועמדים נייחים, והשווה סיווג, גבולות וכל הגבלה דיסקרטית.
מינימום לצילינדר סגור. $A'(r)=4\pi r-1000/r^2=0$ מוביל ל$r^3=250/\pi$, ולכן $r\approx4.30$ ס"מ. מכיוון ש-$A''(r)=4\pi+2000/r^3>0$ עבור r חיובי ו-A גדל ללא גבול בשני הקצוות, זהו המינימום הגלובלי של הדגם הרציף הנתון. האילוצים על הנפח מביאים אז ל$h=2r$.
צילינדר סגור עם קצה עליון ותחתון שטח חייב להכיל 500 ס"מ³. בהתעלמות ממפרקים, מצאו את הרדיוס המזער הממזער את שטח הפנים עבור רדיוס חיובי, עד 2 ספרות אחרי הנקודה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A(r) = 2πr² + 1000/r עבור r > 0. הגזירה הופכת ל-r³ = 250/π, ולכן r ≈ 4.30 ס"מ. הגזירה השנייה החיובית ושטחי הקצה המתפשטים מבטיחים מינימום גלובלי.
חיבור קצבים דרך תלות מוגדרת
- כאשר $V=V(r)$ ו$r=r(t)$, נורמת השרשרת נותנת $dV/dt=(dV/dr)(dr/dt)$.
- קצבים תלויים דורשים יחידות ותנאים תואמים ברגע המבוקש. אינטגרציה של קצב נותנת שינוי מצטבר, בעוד שתנאי התחלה קובע את הסכום הסופי.
רדיוס של בלון גדל בקצב ידוע, ואתה רוצה לדעת כמה מהר נפחו גדל. מה תכתוב תחילה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כתוב תחילה את שרשרת הפונקציות, ולאחר מכן מלא כל גורם. פעולה זו ממירה את השאלה לשני נגזרות רגילות.
לשטחים ולמודלים שוליים יש מגבלות
- שטח בין שתי עקומות משתמש ב'עליון פחות תחתון' על האזור הנדרש. מצאו נקודות חיתוך לאזורים סגורים וחלקו בשינויי סדר; תחום חיצוני עשוי לספק את הגבולות במקום זאת.
- עלות שולית והכנסה שולית הן נגזרות של מודלים רציפים. השוויה ביניהן מוצאת מועמד לרווח ניצב פנימי, שאפשרותיותו, סיווגו ותחרות הגבולות עדיין זקוקים לבדיקה.
עבור האזור הסגור הסופי המוגבל על ידי שתי עקומות הנחתכות, מה עליך למצוא כדי לקבוע את גבולות האינטגרציה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מצא את חיתוכי העקומות הרלוונטיים, קבע איזה עקומה נמצאת מעל בכל מרווח, וחלק אם סדרן משתנה. שאלה המפרטת מרווח חיצוני יכולה במקום זאת לספק ישירות את הגבולות.
במודל עלויות רציף ונבדל, העלות המייצרית היא הנגזרת של העלות הכוללת.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי קצב דגמי מיידי. עלייה פועלית ודיסקרטית של יחידה אחת היא הפרש סופי ואינה בהכרח שווה בדיוק לנגזרת זו.
המסגרת אינה תמיד עלייה מדויקת של יחידה אחת. עבור $C(q)=100+3q+0.2q^2$, $C'(10)=7$ אך $C(11)-C(10)=7.2$. גיליון 3.3 משווה גם מקסימום רציף ב-5.5 עם כמות שלמה הטובה ביותר של 5 ו-6.
מצאת r = 4.30 עבור הצילינדר. כתוב את המשפט התשובה המלא שסוקר מחפש.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
דוגמה: הרדיוס הוא בקירוב 4.30 ס"מ, ומינימי את שטח הפנים תחת מודל נפח הצילינדר הסגור הנתון.
נקודה סטטיונרית לבדה אינה מבטיחה את האופטימום הגלובלי. ציין את התחום המקובל ולמה מועמדים אחרים או גבולות לא יכולים לתת ערך טוב יותר. פתיחת מיכל שונה, קצוות תפירה או מגבלת ממד מעשית יכולות לשנות את המודל.