הנגזרת
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | נגזרת |
| gradient of the tangent/ˈɡreɪdɪənt ɒvðə ˈtændʒənt/ | שיפוע המשיק |
| differentiation from first principles/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn frɒm fɜːst ˈprɪnsɪplz/ | נגזירה מעקרונות ראשונים |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | כלל החזקה |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | כלל מכפלה |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | כלל מנה |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | כלל שרשרת |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | נקודת עצירה |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | נגזרת שנייה |
| maximum/ˈmæksɪməm/ | מקסימום |
| minimum/ˈmɪnɪməm/ | מינימום |
ממוצע סופי מטשטש שינויים מקומיים
- עבור $y=x^2$, המיתר מ-x שווה ל-1 ל-2 יש לו שיפוע 3, אך המשיק ב-x שווה ל-1 יש לו שיפוע 2.
- גזירה היא קצב גבולי מיידי, כאשר היא קיימת. גיאומטרית היא נותנת את שיפוע המשיק בנקודה נגזרת.
הזז את הנקודה השנייה לכיוון הראשונה
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
המיתר הופך למשיק, והשיפוע שלו הופך לנגזרת.
מה נמדד על ידי הנגזרת של פונקציה בנקודה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כאשר קיימת, הנגזרת היא קצב שינוי מיידי וגבולי ושיפוע משיק. אינטגרל מסודר מודד הצטברות סימנית, שאינה חובה להיות שווה לשטח גיאומטרי.
חשב גבול ללא חלוקה באפס
- גזירה מעקרונות משתמשת ב$f'(x)=\lim_{h\to0}[f(x+h)-f(x)]/h$. מנת ההפרש משתמשת ב-h שאינו אפס לפני שנוקח את הגבול.
- גבולות חד-צדדיים חייבים להיתכנס כדי לקיים נגזרת דו-צדדית. פינה חדה יכולה למנוע נגזרות גם אם הפונקציה רציפה.
חזקה מההגדרה שלה. עבור $f(x)=x^2$, המנה היא $[(x+h)^2-x^2]/h=2x+h$ לכל h שאינו אפס. הגבול שלה הוא $2x$. עבור $|x|$ באפס, המנה $|h|/h$ לעומת זאת יש גבול ימי של 1 וגבול שמאלי של מינוס 1, ולכן נגזרת אינה קיימת שם.
בחר כלל לפי צורת הפונקציה
- כלל החזקות נותן $(x^n)'=nx^{n-1}$ בתחום תקף. כלל מכפלה נותן $(uv)'=u'v+uv'$.
- כלל מנה נותן $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ כאשר v אינו אפס. כלל שרשרת נותן $[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$, כולל הנגזרת הפנימית.
גזור את y = x⁵. תן את הנגזרת.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הורד את החזקה והנמך אותה ב-1: 5x⁴.
איזה כלל מגזר את y = (3x + 1)⁴?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פונקציה בתוך פונקציה. הנגזרת היא 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³.
נקודת עמידה זקוקה לסיווג
- נקודת עמידה היא בה $f'(x)=0$. נגזרת שנייה שאינה אפס במקום זה נותנת מקום מקסימום כאשר היא שלילית או מינימום כאשר היא חיובית.
- נגזרת שנייה שווה לאפס אינה מחליטה. בדוק סימנים של נגזרת ראשונה או הוכחות אחרות; $x^3$ יש נקודת עמידה מסוג כיפוף באפס, ולא מקסימום או מינימום.
לב y = x³ − 3x יש נקודה יציבה בערך חיובי של x. מהו?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = 3x² − 3 = 0 נותן x = ±1, ולכן החיובי הוא x = 1.
בנקודה יציבה הנגזרת השנייה שלילית. מה סוג הנקודה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נגזרת שנייה שלילית מציינת שהשיפוע יורד דרך אפס, ולכן העקומה מתעגלת כלפי מטה.
סדרו את השלבים בשאלת נקודת קיצון בסדר שמבטיח קבלת הציון.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
מצאו ערכי x מועמדים מהנגזרת, הציבו אותם בפונקציה המקורית כדי למצוא את הקואורדינטות, והסבירו את ההערכה. נגזרת שנייה המשווה לאפס אינה מספקת סיכון.
מצא את שתי הקואורדינטות ותיאר את התחומים. בדף 3.1, פצל את הנגזרת כדי למצוא ערכי x מועמדים, הצב לתוך הפונקציה המקורית כדי למצוא את y, ואז בדוק סיווג ומתן העקומה עולה או יורדת.
$dy/dx$ גוזר ביחס ל-x; נקודה מעל y מגזרת בדרך כלל ביחס לזמן. ציין את המשתנה הבלתי תלוי במקום להתעלם שהסמנויות הללו מתחלפות בכל בעיה. כללי הגזירה הטריגונומטריים כאן משתמשים ברדיאנים.