סדרות וסדרות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | סדרה (מספרים) |
| arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ | סדרה חשונית |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | סדרה גיאומטרית |
| series/ˈsɪəriːz/ | סכום סדרה |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | הפרש עוקבי |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | יחס עוקבים |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | סכום אינסופי |
התאם את הכלל לסדרה
- חיסכון בסכום קבוע בכל תקופה נותן סדרה אריתמטית אם שום דבר אחר אינו משתנה. הכפלת הסכום הנוכחי בגורם קבוע נותנת סדרה גיאומטרית.
- בעיה פיננסית עשויה לכלול תשלומים קבועים, ריבית או שניהם. זיהה את הכלל המצויין שלה במקום להניח שכל בעיית כסף היא גיאומטרית.
השקעה גדלה ב-4% כל שנה. לאיזה משפחה היא שייכת?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אחוז הוא מקדם, ולא סכום, ולכן כל שנה מכפילים ב-1.04.
שמור על אינדקס האיבר במפורש
- סדרה היא רשימה מסודרת; סדרה (סכום) מוסיפה את איבריה. אריתמטיקה משתמשת ב-הפרש קבוע d וב-$u_n=a+(n-1)d$.
- גיאומטריה משתמשת ביחס משותף r וב$u_n=ar^{n-1}$. אם הערך ההתחלתי הוא $u_1$, חמש כפילות מלאות נותנות $u_6$; אם הדגם משתמש בזמן n שמתחיל באפס, יש לכתוב את המוסכמה הזו במקום זאת.
סדרה חשושית מול סדרה גיאומטרית
מקדם קבוע לבסוף עוקף סכום קבוע, לא משנה כמה גדול הסכום.
סדרה חשושית מתחילה ב-5 עם הפרש 3. מהו האיבר ה-10?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₁₀ = 5 + 9 × 3 = 32. תשע צעדים מהאיבר הראשון, לא עשרה.
סכום שונה מאיבר
- סכומים אריתמטיים משתמשים ב$S_n=n[2a+(n-1)d]/2$. סכומים גיאומטריים משתמשים ב$S_n=a(1-r^n)/(1-r)$ עבור $r\ne1$, או לא מוגדר כאשר $r=1$.
- עבור a שאינו אפס, סכום אינסופי קיים רק כאשר $|r|<1$, ונותן $S_\infty=a/(1-r)$. אם a הוא אפס, כל איבר וכל סכום הם אפס.
עבור איבר ראשון שאינו אפס, לסדרה גיאומטרית יש סכום סופי באינסוף רק כאשר...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עבור a שאינו אפס, ההתכנסות דורשת |r| < 1. כאשר |r| ≥ 1, האיברים אינם שואפים לאפס; סכומים חלקיים עשויים להתפזר או להשתנות תנודתיות, ולא תמיד לגדול לאינסוף חיובי.
מודל הפחתה מצוין. ערך התחלתי של 80000 יחידות מאבד 12% בשנה, ללא שינויים אחרים. $V(n)=V_0(1-r)^n$, ולכן $V(5)=80000(0.88)^5=42218.553344$ יחידות. זהו 42200 לקרוב ביותר ל100, ולא ערך מדויק של 42200.
מכונה בעלת ערך 80000 מאבדת 12% בשנה. מה ערכה לאחר 5 שנים, לעגול ל-100 הקרוב?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
80000 × 0.88⁵ = 42218.553344, שעגול ל-42200 בקרבת ל-100. היחס הנשמר מוכפל חמישה פעמים.
שימוש בסכום לקיבולת משולבת. שורות עם ספירות 12, 14, 16 ועוד נותנות $u_{15}=40$, אך $S_{15}=390$. דף 2.1 משווה איבר יחיד, סכום סופי ומודל מתמטי בעל אופק אינסופי.
עבור האיבר הראשון שאינו אפס, יחסים בגודל של לפחות 1 מונעים התכנסות של הסדרה הגיאומטרית האינסופית. הם לא כולם מייצרים סכומים הגדלים לאינסוף חיובי: יחס של מינוס 1 גורם לסכומים חלקיים להחליף תנודה. יש לנסח במדויק את הכשל בהתכנסות.
איבוד של 12% בשנה במשך חמש שנים פירושו איבוד של 60% בסך הכל.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
0.88⁵ = 0.528, כלומר אבדה כ-47%. באופן זה, האבדה בשנה כלשהי חלה על סכום קטן יותר מאשר בשנה הקודמת.