מעריכים ולוגריתמים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה אקספוננציאלית |
| exponent/ekˈspəʊnənt/ | מעריך |
| natural logarithms/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəmz/ | לוגריתם טבעי |
| compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/ | ריבית הונית |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | דעיכת אקספוננציאלית |
כפילות חוזרת יוצרת מודל
- פונקציה אקספוננציאלית כמו $y=a^x$ מכילה את המשתנה במעריך, כאשר $a>0$ ו-$a\ne1$.
- הערכים שלה גדלים עבור $a>1$ ודועכים עבור $0<a<1$. שלבים זמניים שווים כופלים באותו גורם; הם אינם בהכרח מוסיפים אותו סכום.
צמיחה מעריכית מול קו ישר
$y = a^x$
גורם קבוע תמיד עולה על סכום קבוע, בין אם הקו תלול.
השתמש בלוגריתם כפונקציה הפוכה
- $\log_a y=x$ משמעותו $a^x=y$. לוגריתמים ממשיים דורשים ארגומנט חיובי ובסיס חיובי השונה מ-1.
- לוגריתמים טבעיים משתמשים בבסיס e. הגרף $y=\ln x$ עובר דרך $(1,0)$ ויש לו נקודת אסימפטוט אנכית $x=0$; לגרפים אקספוננציאליים יש חיתוך עם ציר ה-y ב-1 ואסימפטוטה אופקית $y=0$.
מהי ערך של log₁₀ 1000?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שאלה זו דורשת מה כוח של 10 שמניב 1000, ו-10³ = 1000.
יישם חוקים רק בתחום ההגדרה שלהם
- עבור m ו-n חיוביים עם אותו בסיס תקף, $\log(mn)=\log m+\log n$ ו-$\log(m/n)=\log m-\log n$.
- חוק החזקות $\log(m^k)=k\log m$ מעלה מעריך למכפלה. אין חוק המקביל המפרק לוגריתם של סכום.
איזה חוק מאפשר לפתור משוואה עם נעלם במעריך?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חוק החזקות מוריד את k לקדמת הביטוי, כך שהוא ניתן לחילוק. האופציה הרביעית אינה חוק כלל.
log(m + n) שווה ל-log m + log n.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חוק הסכום חל על מכפלה בתוך הלוגריתם, לעולם לא על סכום.
ציין את ההנחות על הזמן והפיננסים
- ריבית מורכבת משתמשת ב-$A=P(1+r)^n$ לקצב מצויין לכל תקופה וללא זרימות מזומנות אחרות. הקצב r הוא שבר, ולא המספר האחוזי.
- דעיכה אקספוננציאלית משתמשת בגורם בין 0 ל-1. סף בזמן רציף עשוי להשתנות מדגימה ראשונה של תקופה שלמה המתאימה; תהליכים אמיתיים דורשים עדות לפני אימוץ מודל.
5000 גדלים ב-4% בשנה. לאחר כמה שנים שלמות (WHOLE years) הוא עובר לראשונה את 7000?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
n > log 1.4 ÷ log 1.04 = 8.58, והשנים הן מספרים שלמים, ולכן התשובה היא 9.
איזה בסיס נותן דעיכה מעריכית?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בסיס בין 0 ל-1 מקטין את הערך בכל צעד. בסיס של 1 לעולם אינו משנה אותו.
במשפט אנגלי אחד, ציין מתי תשתמש בלוגריתם כדי לפתור משוואה.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
דוגמה: "אני לוקח לוגריתמים כשהמשתנה המצוי במעריך, כי חוק החזקות מוריד אותו למטה."
סף לשנה שלמה. עם $A(n)=500(1.04)^n$, התנאי $A(n)>600$ נותן $n>\ln(600/500)/\ln1.04\approx4.6486$. השנה השלמה הראשונה היא 5. בדוק את השנים 4 ו-5 כדי לאמת את אי-השוויון המחמיר.
בדוק משוואה ותחומי הגדרה גרף בנפרד. ב-$\ln(x-1)+\ln2=\ln10$, המשוואה דורשת $x>1$ ויש לה פתרון 6. הגרף הבסיסי הנפרד $y=\ln x$ מוגדר עבור $x>0$. דף 1.6 מתאמן במשוואות ובמאפייני גרף.
מודל דעיכה אקספוננציאלית חיובית נשאר מעל אפס בכל זמן סופי. כמות פיזיקלית שנמדדה כאפס עשויה לשקף מגבלות גילוי או כשל במודל, ולא אפס מדויק שנובע מהנוסחה.