הצבה, אינטגרציה בחלקים ושברים חלקיים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | אינטגרציה בחלקים |
האם ניתן לבצע אינטגרציה של שני הגורמים בנפרד?
- מכפלה פשוטה נראית כמו xe^x לא ניתנת לאינטגרציה על ידי ביצוע אינטגרציה נפרדת לכל גורם.
- שיעור זה עוסק ב-אינטגרציה בחלקים: שיטת אינטגרציה המבוססת על הנגזרת של מכפלה.
בחר את המבנה המתמטי
- השתמש בהצבה כאשר נגזרת פנימית מופיעה כגורם. בחלקים, אינטגרל u v prime =uv-אינטגרל u prime v. עבור פונקציה רציונלית, חלק תחילה אם נדרש, ואז פצל לשברים חלקיים.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
מדוע ההצבה w=x²+1 מתאימה לאינטגרל של 2x/(x²+1)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עם w=x²+1, מתקבל dw=2x dx, והאינטגרל הופך ל-∫dw/w=ln|w|+C. ההצבה חזקה במיוחד כאשר הנגזרת הפנימית מופיעה כגורם.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור אינטגרל xe^x dx, בחר u=x ו-v prime=e^x. אז האינטגרל הוא xe^x-e^x+C. עבור אינטגרל 2x/(x²+1) dx, בצע הצבה w=x²+1, dw=2x dx; התשובה היא ln(x²+1)+C.
הצבה, אינטגרציה בחלקים ושברים חלקיים
V/π = אינטגרל מ-0 עד 3 של x² dx = 9
הוידג'ט מראה את פונקציית העוצמה לנפח y²=x² עבור y=x; השוו את הערך המדויק 9 לבדיקת הנפח.
הערכו את האינטגרל של xe^x מ-0 ועד 1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
פונקציה קדומה היא (x-1)e^x. ב-1 וב-0 היא נותנת 0 ו-1-, ולכן האינטגרל הוא 1.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- בחירה טובה של u ו-v prime חשובה: האינטגרל הנותר צריך להפוך לפשוט יותר. בהצבה מוגדרת, יש לשנות את הגבולות או לחזור ל-x לפני יישום הגבולות המקוריים.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
האינטגרל של מכפלה שווה למכפלת האינטגרלים הנפרדים שלה. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
מצאו את המקדם של ln(x²+1) באינטגרל של 2x/(x²+1).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הצבה w=x²+1 נותנת dw=2x dx, ולכן המקדם של ln(x²+1) הוא 1.
האינטגרל של מכפלה שווה למכפלת האינטגרלים הנפרדים שלו.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בחירת u ו-v prime נכונה חשובה מאוד: האינטגרל הנשאר צריך להפוך לקל יותר. בהצבה מוגדרת, יש לשנות את הגבולות או לחזור למשתנה x לפני שימוש בגבולות המקוריים.
פרשן מצב חדש
- בדוק על ידי גזירה. עבור נפחי סיבוב סביב ציר ה-x השתמש ב-V=π∫y²dx; אל תבלבל בין ריבוע פונקציה לבין אינטגרל הפונקציה.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
מצאו את הנפח מחולק ב-π כאשר y=x מסתובבת סביב ציר ה-x מ-0 ועד 3.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
V/π=אינטגרל x² dx מ-0 ועד 3=[x³/3]=9.
התאם כל אינטגרל לשיטה המתאימה לו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
בחרו את השיטה לפי המבנה: נגזרת פנימית מעלה סכנה להצבה, מכפלה של סוגים שונים מעלה סכנה לחלקים, ומכפלת רציונלית לא תכונה דורשת חלוקה קודם.
השתמש בזה בקורס שלך
- מתמטיקה טהורה IAL של אדקסל; יחידת FP3 רשמית. עושר יחידות אחרות מוגדר במסקורת ההיקף; זו אינה דרישת תשלום נוספת.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
שיטת אינטגרציה המבוססת על הנגזרת של מכפלה. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.