עקומות קוטביות ושטח
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| polar coordinate/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnət/ | מערכת קואורדינטות קוטביות |
מדוע לחדר בעקומה לפי כיוון?
- עקומה בצורת עלי כותרת פשוטה יותר כאשר הרדיוס שלה תלוי בכיוון. קואורדינטות קרטזיות עלולות להסתיר מבנה זה.
- שיעור זה עוסק בקואורדינטות קוטביות: מיקום המתואר על ידי מרחק r וזווית θ ממקור נבחר וקרן ייחוס.
בחר את המבנה המתמטי
- השתמשו ב-x=r cosθ וב-y=r sinθ. שטח בקואורדינטות קוטביות הוא מחצית האינטגרל של r² ביחס ל-θ על מרווח שנבחר נכון. זיהו סימטריה וחזרות בעקומה לפני בחירת הגבולות.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
מדוע אינטגרציה של (1/2)r² בין 0 ל-2π עלולה לחשב שטח כפול עבור some polar curves?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חלק מהפרמטריזציות חוזרות על אזורים בתוך 0 עד 2π, ולכן האינטגרל מוסיף את השטח פעמיים. זיהוי סימטריה והתנהגות החזרה תחילה נותן את התחום הנכון.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור r=2 ו-θ=π/3, מתקבל x=1 ו-y=√3. עבור העיגול r=2 במהלך סיבוב מלא, A=(1/2) integral_0^(2π) 4 dθ=4π. סיבוב חצי נותן 2π, בדיוק מחצית הדיסק.
עקומות קוטביות ושטח
השתמשו ב-x=r cosθ וב-y=r sinθ
השוו בין הדגם לבין המקרה המוצר והסבר שינוי אחד.
עבור r=2, θ=π/3, מצאו את x.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x=r cosθ=2 cos(π/3)=1.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- ערך רדיוס שלילי מניח נקודה בכיוון הנגדי; הוא אינו מרחק שלילי רגיל לאורך אותה קרן. פרמטריזציה עשויה לעקוף את אותו אזור יותר מפעם אחת, ולכן מרווח פרמטר מלא עלול לספור שטח יתר.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
שימוש בכל תחום פרמטרים מלא סופר כל אזור קוטבי בדיוק פעם אחת. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
עבור עיגול שלם r=2, מצאו שטח חלקי π.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שטח/π=r²=4 לעיגול זה.
שימוש בכל מרווח פרמטרי מלא תמיד סופר כל אזור קוטבי בדיוק פעם אחת.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ערך רשלילי ממוקם בכוונה הנגדית; הוא אינו מרחק שלילי רגיל לאורך אותו קרן. פרמיטרציה עשויה לעקוף את אותו אזור יותר מפעם אחת, ולכן מרווח פרמטרי מלא יכול לספור שטח יתר.
פרשן מצב חדש
- צייר מספיק נקודות כדי לקבוע כיוון וגבולות. עבור אזור סגור בין שתי עקומות, מצא את נקודות החיתוך ואת הקו הרדיאלי התורם לגבול החיצוני בכל תחום.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
עבור עיגול זה על פני סיבוב למחצה, מצאו שטח חלקי π.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
סיבוב למחצה כולל מחצית מעיגול: שטח/π=2.
התאם כל קשר בקואורדינטות קוטבית לשותפו בקואורדינטות קרטזיות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
קואורדינטות קוטביות מתארות מיקום באמצעות מרחק וזווית; שטחים מצטברים בתחומי זווית, ולא בפסבים רוחביים.
השתמש בזה בקורס שלך
- מתמטיקה טהורה IAL של אדקסל; יחידת FP2 רשמית. עושר יחידות אחרות מוגדר במסקורת ההיקף; זו אינה דרישת תשלום נוספת.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
מיקום המתואר על ידי המרחק r והזווית θ מקורב ברירה וקרן ייחוס. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ומצא משמעות לתוצאה.