משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר שני
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | פונקציית משלימה |
מדוע אנו זקוקים לשני תנאי התחלה?
- דגם תזוזה כולל גם מהירות וגם תאוצה. פתרון של משוואת קצב מסדר ראשון בלבד אינו יכול לתפוס את שני תנאי ההתחלה.
- שיעור זה עוסק בפונקציה המשלימה: הפתרון הכללי של משוואת הגזירה הליניארית הומוגנית הקשורה.
בחר את המבנה המתמטי
- עבור y''+ay'+by=f(x), פתרו את המשוואה האופיינית הרב-ריבועית עבור החלק ההומוגני. הוסיפו אינטגרל פרטי מתאים עבור האיבר המעורר. שורשים חוזרים ומרוכבים דורשים את צורותיהם המתאימות.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
מדוע משוואה מסדר שני דורשת שני תנאים כדי לקבוע פתרון?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפתרון המשלימה y=Ae^x+Be^(2x) מכילה שני קבועים אקראיים. כל תנאי נותן משוואה ליניארית אחת ב-A וב-B; רק שני תנאים עצמאיים יכולים לקבוע את שניהם.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור y''-3y'+2y=0, המשוואה האופיינית היא m²-3m+2=0 עם שורשים 1,2. מכאן y=Ae^x+Be^(2x). עם y(0)=1 ו-y'(0)=0, מתקבל A+B=1 ו-A+2B=0, ולכן A=2, B=-1.
משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר שני
עבור y''+ay'+by=f(x), פתרו את הריבועי העזרי עבור החלק ההומוגני
השוו בין הדגם לבין המקרה המוצר והסבר שינוי אחד.
עבור A+B=1 ו-A+2B=0, מצאו את A.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
חסרו את A+B=1 מ-A+2B=0: B=-1, ולכן A=2.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- שני קבועים אקראיים דורשים שני תנאים עצמאיים. אם האינטגרל הפרטי המוצע חוזר על איבר בפונקציה המשלימה, יש להכפיל אותו ב-x בהתאם. אל תפסלו פתרון תנודתי תקף רק בגלל שהשורשים האופייניים הם מרוכבים.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
ערך התחלה אחד הוא תמיד מספיק כדי לקבוע את שני הקבועים בפתרון כללי מסדר שני. טענה זו שגויה. הסבירו באיזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
בתנאים אלו, מצאו את B.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
חסרו את המשוואה הראשונה מהשנייה כדי לקבל את B=-1.
ערך התחלתי אחד תמיד מספיק כדי לקבוע שני הקבועים בפתרון הכללי של משוואה מסדר שני.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שני קבועים ארביטרריים דורשים שני תנאים בלתי תלויים. אם הפתרון החלקי המוצע חוזר על איבר בתפקוד המשלים, כפילו את הפתרון המוצע ב-x לפי הצורך. אל תזרקו פתרון תנודתי תקין רק כי השורשים העזריים הם מרוכבים.
פרשן מצב חדש
- גזרו את הביטוי הסופי והציבו במשוואת הגזירה המקורית. בדקו את שני תנאי ההתחלה בנפרד, ופרשנו את מרווח הפתרון המותר.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
מצאו את השורש הגדול יותר של m²-3m+2=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
גורמים של m²-3m+2=(m-1)(m-2); השורש הגדול ביותר הוא 2.
התאם כל חלק של y″-3y′+2y=f(x) לתפקידו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הפתרון הכללי הוא הפתרון המשלימה פלו האינטגרל המיוחד; השורשים העזריים קובעים את הצורה, עם מקרים מיוחדים לשורשים כפולים או מרוכבים.
השתמש בזה בקורס שלך
- מתמטיקה טהורה IAL של אדקסל; יחידת FP2 רשמית. עושר יחידות אחרות מוגדר במסקורת ההיקף; זו אינה דרישת תשלום נוספת.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
הפתרון הכללי של משוואת הגזרה הליניארית הומוגנית הקשורה. בחרו את הקשר, הראו את השיטה, בדקו את ההנחות ופרשנו את התוצאה.