משוואות דיפרנציאליות ופתרונות מספריים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | תנאי התחלה |
מה קובעת הערך ההתחלתי?
- קצב צמיחה של אוכלוסייה פרופורציונלי לגודלה הנוכחי. משוואת הקצב מתארת משפחה שלמה עד שמסופקת אוכלוסייה התחלתית.
- שיעור זה לומד תנאי התחלה: ערך ספציפי בוחר פתרון מסוים מתוך משפחה.
בחר את המבנה המתמטי
- עבור dy/dx=ky, הפרד משתנים: dy/y=k dx, וקבל y=Ae^(kx). השתמש בתנאי התחלה כדי למצוא A. שיטת אואייר לוקחת y הבא=y+h f(x,y), עם צעד h שנבחר.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
עבור dy/dx=0.5y כאשר y(0)=2, מה הקביעה ההתחלתית קובעת?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפרדה נותנת את המשפחה y=Ae^(0.5x) עם קבוע חופשי. בהצבת x=0, y=2 מתקבל A=2, ובכך נבחר פתרון פרטי אחד מהמשפחה.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עם dy/dx=0.5y ו-y(0)=2, י Obtained y=2e^(0.5x). אולר עם h=0.2 נותן y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 ו-y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. הערך המדויק השני הוא כ-2.4428.
משוואות דיפרנציאליות ופתרונות מספריים
עבור dy/dx=ky, הפרדת משתנים: dy/y=k dx, וזאת מובילה ל-y=Ae^(kx)
השוו בין הדגם לבין המקרה המוצר והסבר שינוי אחד.
בהשתמש בשיטת אוילר עם h=0.2 עבור y prime=0.5y,y₀=2, מצא את y₁.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
אוילר משתמש ב-y₁=y₀+h f(y₀)=2+0.2×0.5×2=2.2.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- תנאי התחלה קובע את קבוע האינטגרציה; הוא אינו מחליף את האינטגרציה. חלוקה ב-y עלולה לפסול פתרון איזון y=0. דיוק אילר תלוי בגודל השלב ובמשוואה.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
כל גודל צעד נותן בדיוק אותו קירוב אואייר. טענה זו שגויה. הסבר באיזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
עבור קירוב זה, מצא את y₂.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
חזור מ-y₁: y₂=2.2+0.2×0.5×2.2=2.42.
כל גודל צעד נותן בדיוק אותה קירוב של אולר.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
תנאי התחלה קובע את קבוע האינטגרציה; הוא אינו מחליף את פעולת האינטגרציה. חלוקה ב-y עלולה לפסול פתרון איזון y=0. דיוק השיטה של Euler תלוי בגודל הצעד ובמשוואה עצמה.
פרשן מצב חדש
- למשוואות ליניאריות מסדר שני, יש לשלב את הפונקציה המשלימה עם אינטגרל פרטי מתאים, ולאחר מכן להחיל את תנאי ההתחלה הנדרשים. נושא זה נכלל בתוכנית Further Pure; יש לבדוק את היחידה המסומנת.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
עבור y=2e^(0.5x), מצאו את ערך y כאשר x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
כאשר x=0, הערך האקספוננציאלי הוא 1, ולכן y=2.
התאמו כל שלב למטרתו בפתרון dy/dx=ky.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הפרדה מאגדת כל משתנה בצד; אינטגרציה נותנת את המשפחה; הקביעה ההתחלתית בוחרת את הפתרון הפרטי.
השתמש בזה בקורס שלך
- edexcel IAL מתמטיקה מתקדמת; יחידה רשמית M3. עשירות יחידות אחרות מופיעה בסקירת היקף; זוהי לא דרישת תשלום נוספת.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
ערך ספציפי בוחר פתרון מסוים מתוך משפחה. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.