סדרות, הפרשים סופיים והתפתחויות טיילור
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | פולינום טיילור |
האם פולינום יכול להחליף מעריכית בקרבתה?
- קרוב לנקודה ידועה, פונקציה מורכבת יכולה להיות מוחלפת על ידי קירוב פולינומי. הקירוב דורש מרכז ומידה תקינה.
- שיעור זה עוסק בפולינום טיילור: פולינום הנוצר מהנגזרות של פונקציה במרכז שנבחר.
בחר את המבנה המתמטי
- סביב x=a, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... כאשר ההתפתחות תקינה. ב-n=0 מדובר בהתפתחות מקלורן. סכומים סופיים עשויים גם להתאבן באמצעות ביטולים או נוסחאות סכום סטנדרטיות.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
מדוע 1+x+x²/2 מקרב רק את eˣ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הסדרה המלאה היא אינסופית: eˣ=1+x+x²/2!+x³/3!+.... עצירה לאחר שלושה איברים משליכה את הזנב, ולכן התוצאה היא מקירוב טוב רק בקרבת מרכז x=0.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
שלושת האיברים הראשונים של e^x הם 1+x+x²/2. ב-x=0.1 זה נותן 1.105, קרוב ל-e^0.1≈1.105170. עבור הסכום של k² מ-k=1 עד 5, n(n+1)(2n+1)/6 נותן 5×6×11/6=55.
סדרות, הפרשים סופיים והתפתחויות טיילור
סביב x=a, f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+
השוו בין הדגם לבין המקרה המוצר והסבר שינוי אחד.
השתמש ב-1+x+x²/2 כדי להעריך את e^0.1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הפולינום המוקוצץ הוא 1+0.1+0.1²/2=1.105.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- הפקטוריאל צריך להיות במכנה של כל מקדם טיילור. מרכז ההתפתחות אינו תמיד אפס. קירוב קרוב למרכזו עשוי להיות גרוע הרחק ממנו.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
פולינום טיילור הוא תמיד מדויק לפונקציה המקורית בכל קלט. טענה זו שגויה. הסבר באיזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
מצא את הסכום של k² עבור k=1 עד 5.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הוסף את האיברים הריבועיים: 1+4+9+16+25=55.
פולינום טיילור תמיד מדויק לפונקציה המקורית בכל כניסה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפאקטוריאל נמצא במכנה של כל מקדם טיילור. מרכז ההתפתחות אינו תמיד אפס. קירוב קרוב למרכזו עשוי להיות גרוע הרחק ממנו.
פרשן מצב חדש
- עבור סדרה טלסקופית, כתוב מספר איברים וזיהה את שני הקצוות הנותרים. עבור קירוב טיילור, צין את סדרו והשווה לערך ידוע או להערכת שארית כאשר נדרש.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
מצא את המקדם של x² בהתפתחות מקלורן של e^x.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הנגזרת השנייה של e^x באפס היא 1; חלק ב-2!=2 כדי לקבל 1/2.
התאם כל כלי סדרה לשימושו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
סכומים סטנדרטיים מטפלים במונחי פולינום; פולינומי טיילור מקרבים פונקציות חלקות בקרבת מרכזן; סכומי טלסקופי צמצמים הפרשים.
השתמש בזה בקורס שלך
- edexcel IAL מתמטיקה מתקדמת; יחידה רשמית FP2. עושר יחידות אחרות מזוהה בסקירת התחום; זו אינה דרישה לתוספת תשלום.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
פולינום הנוצר מהנגזרות של פונקציה במרכז שנבחר. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ועיבד את התוצאה.