אנטי-נגזרות ראשוניות, מקדמים ותחומי הגדרה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | פונקציה מקורייה |
נגזרת מכפילה אקספוננציאלית או פרמטר טריגונומטרי במקדם שלו. איך צריך לאינטגרציה לבטל גורם זה?
- נגזרת מכפילה אקספוננציאלית או פרמטר טריגונומטרי במקדם שלו. איך צריך לאינטגרציה לבטל גורם זה?
- שיעור זה עוסק באנטי-נגזרה: פונקציה שנגזרתה היא הפונקציה המובנית הנתונה על הקטע המפורש.
בחר את המבנה המתמטי
- עבור חזקות ממשפחת הממשיים על תחום נגזרות מותר, נגזור x^n כ-x^(n+1)/(n+1)+C כאשר n≠−1. נגזור 1/x כ-lin|x|+C על קטע שאינו כולל אפס. עבור k≠0, האינטגרלים של e^(kx), sin(kx), cos(kx) הם בהתאמה e^(kx)/k, −cos(kx)/k, sin(kx)/k, בתוספת קבועים. השתמש בקוויאריות לסכומים וכפילות קבועה; בדוק על ידי נגזירה.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
מדוע האינטגרל של 1/x אינו x⁰/0 או מקרה כלשהו של כלל החזקות?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כלל החזקות מחלק ב-n+1, שזה נכשל בדיוק ב-n=-1. הפער הזה ממולא על ידי הלוגריתם: (ln|x|)′=1/x משני צדי אפס, כאשר |x| מכסה כניסות שליליות.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור f(x)=6x²−4e^(2x)+3cos(3x)−2sin(2x)+5/x עם x>0, F=2x³−2e^(2x)+sin(3x)+cos(2x)+5ln x+C. כל נגזרת משחזרת את האיבר המתאים לה. עבור x<0, אינטגרל 5/x כ-5ln(−x), או 5ln|x|; קבועים יכולים להיות שונים בתחומים מנותקים. האינטגרל של 3cos(3x) מ-0 עד π/6 הוא sin(π/2)−sin 0=1. עבור F′=6x² ו-F(1)=7, F=2x³+5. אם k=0, e^(kx)=1 ו-cos(kx)=1 מתאימים לאינטגרציה ל-x+C, בעוד ש-sin(kx)=0 מתאים לאינטגרציה ל-C; לעולם אל תחלק ב-k=0.
אנטי-נגזרות ראשוניות, מקדמים ותחומי הגדרה
עבור מעריכים ממשיים בתחום גמיד מותר, אינטגרציה של x^n נותנת x^(n+1)/(n+1)+C כאשר n≠−1.
בדוק את ההנחות, הקצוות והמקדמים המניחים מאחורי כל חישוב אינטגרלי.
עבור F′=6x² והתנאי F(1)=7, מצאו את קבוע האינטגרציה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
7=2×1³+C נותן C=5.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- חזקת n=−1 היא מקרה לוגاريتمي נפרד, לא חלוקה באפס בנוסחת החזקה. שמור על הסימן באנטי-נגזרת הסינוס וחלק במקדם הפרמטר. ln x לבדו לא מכסה x שלילי. אינטגרל לא מוגדר זקוק לקבוע; אינטגרל מוגדר יש ערך מספרי כאשר ספקים גבולות תקפים. חזקה פרקציונלית ממשפחת הממשיים עשויה להגביל את התחום.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
נגזור cos(kx) תמיד נותן k sin(kx), כולל k=0. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפגרת.
מצאו את אינטגרל המוחשב המוגדר של 3cos(3x).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הפונקציה האנטי-פרמיטיבה sin(3x) נותנת sin(π/2)−sin 0=1.
אינטגרציה של cos(kx) נותנת תמיד k sin(kx), כולל כאשר k=0.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המעריך n=−1 מהווה מקרה לוגריתמי נפרד ואינו חלוקה באפס בנוסחת המעריכים. שמרו על הסימן בפונקציה האנטי-פרמיטיבה של הסינוס וחלקו במקדם הארגומנט. הפונקציה ln x לבדה אינה מכסה ערכים שליליים של x. לאינטגרל לא מוגדר נדרש קבוע; לאינטגרל מוגדר יש ערך מספרי כאשר סופקים גבולות תקפים. מעריך פרקציונלי ממשי עשוי להגביל את תחום ההגדרה.
פרשן מצב חדש
- גזרו איבר לאיבר כדי לבדוק מקדמים וערכים, והגדירו את התחום לפני שימוש בלוגריתמים או חזקות פרציונליות. צורות יסודיות H2 הן חזקות, e^(kx), 1/x, sin(kx) ו-cos(kx). צורות אחרות דורשות הוכחה נפרדת ואינן מוצגות כצורות H2 נדרשות נוספות.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
חשבו את הנגזרת של 5ln|x| בנקודה x=−2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הנגזרת היא 5/x בכל אחד מהתחומים המותרים, ולכן התוצאה היא −5/2.
התאם כל פונקציית אינטגרנד לגזירה ההפוכה שלה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
וודא את כל הגזירות ההפוכות על ידי גזירה חוזרת; הסינוס נושא את הסימן השלילי, ו-k=0 מתדרדר לקבועים הנדרשים טיפול נפרד.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · H. התאם את רמת היעד ואת ספקסיפיקציה לפני שאתה מטפל בהרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
פונקציה שגזריתה היא הפונקציה המובנית הנתונה על התחום המצויין. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.