המשפט היסודי והשינוי המצטבר
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | פונקציית הצטברות |
מד זרימה מדווח על קצב משתנה. כיצד נפח מצטבר משחזר את אותו קצב כאשר מנגזרים אותו?
- מד זרימה מדווח על קצב משתנה. כיצד נפח מצטבר משחזר את אותו קצב כאשר מנגזרים אותו?
- שיעור זה לומד פונקציית הצטברות: פונקציה שערכה הוא האינטגרל הסימני מנקודת התחלה קבועה ועד סוף משתנה.
בחר את המבנה המתמטי
- עבור f רציפה במרווח, A(x)=אינטגרל מ-a עד x של f(t) dt יש A′(x)=f(x). אם F′=f, האינטגרל המובדל מ-a עד b הוא F(b)−F(a). שני הכיוונים הללו מקשרים בין הצטברות לגזירה. המשתנה t הוא משתנה זמני (dummy variable) שנעשה לו אינטגרציה; x הוא קצה הנע. עבור A(g(x)), יש להפעיל את כלל השרשרת: הנגזרת שלו היא f(g(x))g′(x).
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
עבור A(x)=∫₁ˣ(3t²-2)dt, מדוע A(2)=5 ו-A′(2)=10 הם מספרים שונים?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
למשפט היסוד יש שני כיוונים: אינטגרציה נגזרת חוזרת לפונקציית האינטגרנד, A′(x)=f(x), בעוד שהאינטגרל המוגדר F(b)-F(a) מדד את השינוי הכולל. כאן x³-2x+1 ב-2 הוא 5, אך f(2)=10.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
תן A(x)=אינטגרל מ 1 עד x של (3t²−2) dt. פונקציה קדומה היא t³−2t, ולכן A(x)=x³−2x+1, A(1)=0, A(2)=5 ו-A′(2)=10. מכאן שהשינוי המצטבר 5 שונה מהקצב בקצה 10. עבור B(x)=אינטגרל מ 1 עד x² של (3t²−2) dt, B′(x)=(3x⁴−2)2x; ב-x=1 ערך זה הוא 2. באופן עצמאי, אם F′=3x²−2 ו-F(1)=4, אז F=x³−2x+5. השינוי F(2)−F(1)=5 תואם ל-A(2), למרות הערך ההתחלתי אינו אפס.
המשפט היסודי והשינוי המצטבר
עבור פונקציה רציפה f בקטע, A(x)=אינטגרל מ-a עד x של f(t) dt מקיים A′(x)=f(x)
בדוק את ההנחות, הקצוות והמקדמים המניחים מאחורי כל חישוב אינטגרלי.
מצאו A(2) לפונקציית הצטברות המוצגת.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A(2)=8−4+1=5.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- חסרי את ערך האנטי-נגזורה התחתון גם כאשר הגבול התחתון אינו אפס. אינטגרל מובדל הוא שינוי סימני, ולא אוטומטית שטח חיובי כולל. A′(x) היא הפונקציה בתוך האינטגרל בנקודה הקצה, ולא האנטי-נגזורה שלה. רציפות במרווח הרלוונטי היא הנחה מספקת; אל תבצע אינטגרציה מעבר לקוטב כגון 1/t באפס. קצה נע x² תורם גם הוא גורם כלל השרשרת.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
הנגזרת של פונקציית הצטברות היא תמיד הסך המצטבר שלה. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא פוגעת.
מצאו A′(2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A′(2)=3×4−2=10.
הנגזרת של פונקציית הצטברות היא תמיד הסך המצטבר שלה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
החסירו את ערך הפונקציה המקיימת התחתון גם כאשר הגבול התחתון אינו אפס. אינטגרל מוגדר הוא שינוי ממוספר, לא אוטומטית סך השטח החיובי. A′(x) היא פונקציית האינטגרנד בקצה, לא הפונקציה המקיימת שלה. רציפות בתחום הרלוונטי היא הנחה מספקת; אל תבצעו אינטגרציה על גבי קוטב כגון 1/t באפס. קצה זז x² תורם גם הוא גורם הכללת השרשרת.
פרשן מצב חדש
- השתמש ביחידות קצב כפול ביחידות קלט עבור שינוי מצטבר. בדוק A(a)=0 וגזור את הביטוי הסופי כדי לשחזר את f. ערכים התחלתיים קובעים קבועים בפונקציית מצב; שינויים סופיים אינם תלויים בקבוע אנטי-פונקציה שרירותי. LESSON זו מספקת את המשפט ומדגימי גבול משתנה בסיסיים; אינטגרלים לא רגילים מחוץ לעיבוד זה.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
מצאו B′(1) עבור קצה הזז המוצג.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
B′(1)=(3−2)×2=2.
התאמו כל רכיב למשפטו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
המשתנה t משתמש (Dummy variable) נשלף באינטגרציה; הנקודה הסופית x היא מה שעליו להסתמך התשובה, ונקודה סופית לא ליניארית מביאה גורם שרשרת משלה.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · H. התאם את רמת היעד ואת ספקסיפיקציה לפני שאתה מטפל בהרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
פונקציה שבה הערך הוא האינטגרל הסימני מנקודת התחלה קבועה ועד נקודת קצה משתנה. בחר את היחס, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.