הקמת משוואות דיפרנציאליות מתוך חוקי קצב
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | משוואה דיפרנציאלית |
אוכלוסייה צומחת בהתאמה לגודלה הנוכחי בעוד שמספר קבוע יוצא מכל יום. אילו חלקים שייכים למשוואת הקצב?
- אוכלוסייה צומחת בהתאמה לגודלה הנוכחי בעוד שמספר קבוע יוצא מכל יום. אילו חלקים שייכים למשוואת הקצב?
- שיעור זה עוסק במשוואה דיפרנציאלית: קשר הכולל פונקציה לא ידועה ואחד או יותר מהנגזרות שלה.
בחר את המבנה המתמטי
- בחרו משתנים עצמאיים ותלויים והמירו את חוק הקצב הנאמר לנגזרת. פרופורציונלי ל-y פירושו ky; פרופורציונלי ל-y² פירושו ky². כניסה קבועה מינוס אובדן פרופורציונלי נותן dy/dt=a−ky; קצב פרופורציונלי לפער ממטרה A נותן dy/dt=k(A−y). תנאי התחלה קובע ערך של פונקציה, לא נוסחת נגזרת. הקבועים חייבים להיות בעלי יחידות שהופכות את שני האגדים לסוג זהה של קצב.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
מדוע "הקצב פרופורציונלי לכמות הנוכחית" נכתב כ-dy/dt=ky ולא כ-dy/dt=k?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קצב פרופורציונלי נותן התנהגות אקספוננציאלית, לא שינוי מוחלט קבוע. dy/dt=k יוסיף כמות קבועה לכל יחידת זמן ללא קשר ל-y - מודל ליניארי המשיב לשאלה שונה.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור אוכלוסייה לדוגמה P, t בימים, לידות מתרחשות בקצב 0.04P ליום ו10 יחידות יוצאות ליום. המודל הוא dP/dt=0.04P−10, P(0)=500. בהתחלה הקצב הוא 10 יחידות/יום; P=250 הוא מאוזן (equilibrium), ומתחת אליו אותו משוואה חוזה ירידה. המודל חייב להפסיק או להתעדכן אם הוא חוזה אוכלוסייה שלילית. עבור מהירות v במטר לשנייה עם t בשניות, תאוצה 6−0.2v נותנת dv/dt=6−0.2v, v(0)=0: תאוצה התחלתית היא 6 מטר/שנייה² ומהירות מאוזנת 30 מטר/שנייה. במודל ביקוש הדמיוני, כמות Q יורדת בקצב-מחיר הפרופורציונלי ל-Q. במחיר p=12, Q=200 ו-dQ/dp=−10, ולכן dQ/dp=−0.05Q עם Q(12)=200; המשתנה העצמאי הוא המחיר, לא הזמן. במתמטיקה טהורה, שיפוע 2xy עם y(1)=3 נותן dy/dx=2xy ושיפوع התחלתי 6.
הקמת משוואות דיפרנציאליות מתוך חוקי קצב
בחרו משתנים עצמאיים ותלושים והמירו את חוק הקצב הנאמר לנגזרת
חברו חישובי הגזירה לנקודת המקור שלהם, לתחום ההגדרה ולחוק הקצב המוצהר.
מצאו את קצב האוכלוסייה ההתחלתי ביחידות/יום.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
0.04×500−10=10.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- קצב פרופורציונלי אינו שינוי מוחלט קבוע. יציאות קבועות דורשות איבר חיסור, ולא כפיל נוסף של P. אל תחליפי P משתנה בערכו ההתחלתי לאורך כל המשוואה. נקודת שיווי משקל פותרת את התנאי שבו הקצב הוא אפס; היא אינה חייבת להיות שווה לערך ההתחלתי או להגיע אליה מכל נקודת התחלה. הנגזרת לפי מחיר והנגזרת לפי זמן הן כמויות שונות עם יחידות מדידה שונות.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
הצהרה שקצב פרופורציונלי לכמות הנוכחית משמעותה אותה שינוי מוחלט בכל עת. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא פוגעת.
מצאו את תאוצת ההתחלה במטר לשנייה ⟨²⟩.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
6−0.2×0=6.
הצהרה שקצב פרופורציונלי לכמות הנוכחית משמעותו אותה שינוי מוחלט בכל זמן.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קצב פרופורציונלי אינו שינוי מוחלט קבוע. יציאות קבועות דורשות איבר חיסור, לא כפיל נוסף של P. אל תחליפי P משתנה בערכו ההתחלתי לאורך כל המשוואה. נקודת איזון פותרת את תנאי הקצב-שווה-אפס; היא אינה צריכה להתאים לערך ההתחלתי או להגיע ממכל נקודת התחלה. נגזרת מחיר ונגזרת זמן הם כמויות שונות עם יחידות שונות.
פרשן מצב חדש
- הגדר כל משתנה, תרגם כל איבר כניסה/יציאה או פרופורציונלי עם הסימן המתאים, ציין הנחות על קבועים וצורף תנאי התחלתי בנפרד. חשב את הקצב ההתחלתי לבדיקה ומצא כל נקודת שיווי משקל לפני שהפרשת את הדגם. אלו בניית דגמים מדגימית, ולא רשימות הקשר חובה: דוגמאות G6 הן אופציונליות. פתרון המשוואה resulting היא משימת אינטגרציה נפרדת.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
מצאו את קבוע הפרופורציונליות החיובי בדגם הביקוש.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מ-10=−k×200, k=10/200=0.05.
התאם כל חוק קצב למשוואה הדיפרנציאלית המתאימה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
קבועים נושאים יחידות שהופכות את שני האגפים לסוג זהה של קצב; תנאי התחלה קובע ערך מספרי, לעולם לא את נוסחת הנגזרת.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · G. התאם את רמת היעד והמפרט לפני שאתה מ assigning extensions.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
יחס המעורב בפונקציה בלתי ידועה ואחד או יותר מהנגזרות שלה. בחר את היחס, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.