Optimisation with constraints, boundaries and rejected roots
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| feasible domain/ˈfiːzɪbl dəˈmeɪn/ | אזור תפקודי |
חיתוך ריבועי פינות גדול יותר גורם לקופסה להיות גבוהה יותר אך הבסיס שלה קטן יותר. האילו חיתוך נותן בעצם את הנפח החוקי הגדול ביותר?
- חיתוך ריבועי פינות גדול יותר גורם לקופסה להיות גבוהה יותר אך הבסיס שלה קטן יותר. האילו חיתוך נותן בעצם את הנפח החוקי הגדול ביותר?
- שיעור זה עוסק בתחום היתכן: ערכי הקלט המותרים לאחר יישום מגבלות הפיזיות או המתמטיות המקוריות.
בחר את המבנה המתמטי
- ביטאו את הכמות שרצו לאופטימיזם במשתנה אחד, עם תחום ההיתכן שלו. פתרו תנאי שוויון לאפס של הנגזרת עבור מועמדים פנימיים, דחו שורשים בלתי תקפים, וסווגו באמצעות סימני הנגזרת או נגזרת שנייה לא-אפס. מקסימום מינימום גלובלי דורש גם ערכי גבול או התנהגות גבולית; סיווג מקומי לבדו אינו פותר שאלה בטווח מוגבל.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
For the open box, V′=0 gives x≈2.43 and x≈8.24. Why is 8.24 rejected outright?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A stationary point outside the feasible domain is not a candidate. Global claims also need the boundaries: V→0 at both open ends, so the interior maximum at 2.43 is global.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
חתכו ריבועים בצידי x ס"מ מתוך נייר בגודל 20 ס"מ על 12 ס"מ וכופלו קופסה פתוחה. המידות הן x,20−2x,12−2x, ולכן V=240x−64x²+4x³ ו0<x<6. V′=240−128x+12x² נותן שורשים x=(16±2√19)/3. השורש הקטן α≈2.4274 נמצא בתחום; הגדול ≈8.2393 גורם לצד הבסיס הקצר להיות שלילי ונדחה. V′ חיובי ב-(0,α) ושלילי ב-(α,6), בעוד ש-V שואף לאפס בשני הקצוות. לכן α נותן את המקסימום הגלובלי. מלבן נפרד עם היקף 24 ס"מ יש לו צדדים x,12−x, שטח A=12x−x² ו0<x<12; המקסימום שלו הוא 36 ס"מ² ב-x=6. עבור f=(x−1)² ב-[0,3], הערך הנידי (stationary) הפנימי הוא המינימום 0, אך המקסימום הגלובלי הוא ערך הקצה f(3)=4.
Optimisation with constraints, boundaries and rejected roots
Express the quantity to optimise in one variable, with its feasible domain
Connect derivative calculations to their original point, domain and stated rate law.
For the 24 cm perimeter rectangle, find the optimum x in cm.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A′=12−2x=0 gives x=6 in the domain.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- שורש נידי מחוץ לתחום ההיתכן אינו עיצוב חלופי. מבחן נגזרת שנייה נותן סיווג מקומי, ולא כל השוואה גלובלית. קצוות פתוחים הם ערכי גבול, לא עיצובים מותרים. עבור רווח סגור בדקו ערכי קצה בפועל. אם המידות חייבות להשתמש במדרגת מדידה דיסקרטית ספציפית, השוו את האפשרויות המותרות השכנות במקום לדווח על אופטימום רציף שאינו ניתן להשגה.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
כל פתרון של V′=0 הוא מקסימום גלובלי היתכן של נפח הקופסה. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
Find its maximum area in cm².
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A(6)=6×6=36; the derivative changes + to −.
Every solution of V′=0 is a feasible global maximum of the box volume.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A stationary root outside the feasible domain is not an alternative design. A second-derivative test gives a local classification, not every global comparison. Open endpoints are limiting values, not permitted designs. For a closed interval check actual endpoint values. If dimensions must use a specified discrete step, compare the neighbouring allowed choices rather than reporting an unattainable continuous optimum.
פרשן מצב חדש
- כתבו יחידות ומגבלות לפני החשבון האינפיניטסימלי, שמרו שורשים מדויקים לאורך הסיווג, ותנו את המידות או הכמות הסופיות המבוקשות ולא רק את הקלט. ציינו אידיאליזציות כמו עובי חומר זניח וכיפולים מדויקים. אם המודל כולל חיתוכים דיסקרטיים או סטיית מדידה, הסבירו כיצד הבחירה החוקית הסופית וההשוואה שלה היו משתנים.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
Find the maximum of (x−1)² on [0,3].
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Compare the stationary value 0 with endpoint values 1 and 4; the maximum is 4.
Match each optimisation step to its purpose.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A second-derivative test classifies locally only; restricted-domain optimisation is finished by comparing boundaries.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · G. התאם את רמת היעד והמפרט לפני שאתה מ assigning extensions.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
ערכי הקלט המותרים לאחר יישום המגבלות הפיזיות או המתמטיות המקוריות. בחרו את הקשר, הראו את השיטה, בדקו את ההנחות ופרשנו את התוצאה.