גזירות פרמטריות ראשונות ומגעים אנכיים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| parametric gradient/ˌpærəˈmetrɪk ˈɡreɪdɪənt/ | שיפוע פרמטרי |
שתי קואורדינטות תלויות באותו סליידר. איך קצבי השינוי שלהן משתלבים ליצירת שיפוע העקומה?
- שתי קואורדינטות תלויות באותו סליידר. איך קצבי השינוי שלהן משתלבים ליצירת שיפוע העקומה?
- שיעור זה עוסק בשיפוע פרמטרי: היחס בין קצב השינוי ב-y לקצב השינוי ב-x לאורך עקומה פרמטרית, כאשר קצב השינוי ב-x אינו אפס.
בחר את המבנה המתמטי
- עבור x=x(t), y=y(t), חוק השרשרת נותן dy/dt=(dy/dx)(dx/dt), ולכן dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) כאשר dx/dt≠0. גזור את שתי הקואורדינטות בנפרד, ואז חלק בסדר y על פני x. הנקודה מתקבלת מאותה ערך פרמטר. הפרמטר אינו חייב לייצג זמן פיזיקלי.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
עבור x=t²+1, y=t³-3t בt=2, מדוע dy/dx=9/4?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קצב ה-y מחולק בקצב ה-x - לעולם להפך. שתי הנגזרות נובעות מאותה ערך פרמטר, והנקודה (5,2) נובעת גם היא מ-t=2.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור x=t²+1, y=t³−3t, dx/dt=2t ו-dy/dt=3t²−3. ב-t=2 הנקודה היא (5,2) והשיפוע הוא 9/4, ולכן המשיק הוא y−2=(9/4)(x−5). ב-t=1, לנקודה (2,−2) יש משיק אופקי y=−2 כי dy/dt=0 בעוד ש-dx/dt=2. ב-t=0, לנקודה (1,0) יש משיק אנכי x=1: dx/dt=0 בעוד ש-dy/dt=−3≠0. פרמטריזציה מקומית רגילה כזו משנה את y בעוד ש-x יש שינוי רגעי אפס. עבור x=2cos t, y=3sin t, ב-t=π/4 הנקודה היא (√2,3√2/2) והשיפוע הוא −3/2. ב-t=0 המשיק לאליפסה אנכי, x=2.
גזירות פרמטריות ראשונות ומגעים אנכיים
עבור x=x(t), y=y(t), הכלל השרשרתי נותן dy/dt=(dy/dx)(dx/dt), ולכן dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) כאשר dx/dt≠0
זהה את המשתנה המתאים ומאמת את מכנה הנגזרה או את הענף המקומי.
לפני המשתנה הפרמטרי הקובי ב-t=2, מצאו dy/dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ב-t=2, dy/dt=9 ו-dx/dt=4, ולכן היחס הוא 9/4.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- היחס הוא dy/dt מחולק ב-dx/dt, ולא ההפוך שלו. אם שני הקצבים מתאפסים, 0/0 אינו מספק: x=t³,y=t³ עדיין מצייר את y=x עם שיפוע 1 דרך האפס. אם dx/dt=0 לבדו, בדוק את העקומה המקומית במקום לדווח על שיפוע מספרי סופי. ערכי x חוזרים יכולים להתאים לערכי y או לענפים שונים; שמור על ערך הפרמטר המצוין.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
כאשר שני קצבי השינוי בקואורדינטות הפרמטריות הם אפס, לעקומה אמורה להיות אין משיק. טענה זו שגויה. הסבר מהי ההגדרה או ההנחה שהיא מפרה.
לפני אותו עקומה ב-t=1, מצאו dy/dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ב-t=1, המונה הוא אפס והמכנה הוא 2, מה שמניב אפס.
כאשר שיעורי הקואורדינטות הפרמטריים שניהם אפס, לעקומה אין מגע.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
היחס הוא dy/dt מחולק ב-dx/dt, לא ההופך שלו. אם שיעורים אלו נעלמים, 0/0 הוא בלתי קביעות: x=t³, y=t³ עדיין מסמן את y=x עם שיפוע 1 דרך אפס. אם dx/dt=0 לבד, בדקו את העקומה המקומית ולא דווחו על שיפוע מספרי סופי. ערכי x כפולים יכולים להתייחס לערכי y שונים או לענפים; שמרו על ערך הפרמטר הנצבע.
פרשן מצב חדש
- מצא את זוג הקואורדינטות, חשב את שני קצבי השינוי הראשונים, ובדוק האם היחס תקף. ציין משיקים אופקיים/אנכיים בנפרד כשהנדרש ושמר את טווח הפרמטר. בדוק על ידי ביטול הפרמטר כאשר הדבר נותן יחס מקומי פשוט. G5 דורש רק נגזרות ראשונות; נגזרת פרמטרית שנייה היא מחוץ להיקף שיעור זה.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
לפני האליפסה ב-t=π/4, מצאו dy/dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(3cos t)/(−2sin t) ב-π/4 הוא −3/2.
התאם כל מצב פרמטרי לפרשנות המתאימה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
אפס קצב ה-x לבדו אוסר את המנה אך לא את המשיק; x=t³,y=t³ מראה ששני הקצבים אפס אך לעקום יש שיפוע 1.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · G. התאם את רמת היעד והמפרט לפני שאתה מ assigning extensions.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
היחס בין קצב השינוי ב-y לקצב השינוי ב-x לאורך עקומה פרמטרית, כאשר קצב השינוי ב-x אינו אפס. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ועבד את התוצאה.