Implicit first derivatives and tangent domains
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| implicit relation/ɪmˈplɪsɪt rɪˈleɪʃn/ | יחס סתום |
לעיגול יש ענף עליון ותחתון. כיצד ניתן למצוא שיפוע המשיק ללא פתרון ראשון לשורש ריבועי?
- לעיגול יש ענף עליון ותחתון. כיצד ניתן למצוא שיפוע המשיק ללא פתרון ראשון לשורש ריבועי?
- שיעור זה עוסק ביחס אינפליסיט: משוואה המקשרת בין x ו-y ללא בידוד אחד כפונקציה אקספליסיטית של השני.
בחר את המבנה המתמטי
- התعامل עם y כפונקציה מקומית נגזרת של x. נגזר את כל היחס לפי x: פונקציה של y מביאה גורם dy/dx לפי כלל השרשרת. אגד איברים המכילים dy/dx ופתור כאשר המקדם שלה אינו אפס. אם היחס הנגזר הופך ל-A(x,y)+B(x,y)y′=0, אז y′=−A/B כאשר B≠0; השיפוע שייך לענף מקומי שנבחר.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
For x²+y²=25, why does differentiating y² produce 2y dy/dx rather than 2y?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Implicit differentiation treats y as y(x): d(y²)/dx=2y·y′. Dropping the factor loses the unknown you are solving for; collecting the y′ terms then gives y′=-x/y.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור x²+y²=25, נגזור ל-2x+2y y′=0, ולכן y′=−x/y עבור y≠0. בנקודה (3,4), שיפוע המשיק הוא −3/4 ו-y−4=−(3/4)(x−3); שיפוע הנורמל הוא 4/3. בנקודה (5,0) המשיק אנכי, x=5, ואין dy/dx סופי. עבור x²+xy+y²=7, נגזור את המכפלה xy ל-y+x y′. אז 2x+y+(x+2y)y′=0, ולכן y′=−(2x+y)/(x+2y). בנקודה (1,2), שעונה ליחס, השיפוע הוא −4/5. עבור e^y+x=3, מתקבל e^y y′+1=0, וזה נותן y′=−e^(−y); בנקודה (2,0) השיפוע הוא −1.
Implicit first derivatives and tangent domains
Treat y as a differentiable local function of x
Identify the appropriate changing variable and validate the derivative denominator or local branch.
For the circle at (3,4), find dy/dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The circle derivative is −x/y; at (3,4) it is −3/4.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- נגזירת y² נותנת 2y y′, לא 2y או 2(y′)². המכפלה xy דורשת גם y וגם x y′. ודא שהנקודה הנתונה נמצאת על היחס המקורי לפני שמונים לה משיק. מכנה אפס עשוי להצביע על משיק אנכי או נקודה סינגולרית; השבר לבדו אינו יכול לסווג כל מקרה. לדוגמה, x²+y²=0 יש רק נקודה מבודדת אחת ממציאות, ולא עיגול חלק עם משיק.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
נגזירת y² לפי x נותנת 2y ללא גורם dy/dx. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
For x²+xy+y²=7 at (1,2), find dy/dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Collect (x+2y)y′=−(2x+y); the point gives −4/5.
Differentiating y² with respect to x gives 2y without a dy/dx factor.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Differentiating y² gives 2y y′, not 2y or 2(y′)². The product xy needs both y and x y′. Verify a supplied point lies on the original relation before assigning its tangent. A zero denominator may indicate a vertical tangent or a singular point; the fraction alone cannot classify every case. For example x²+y²=0 has only one isolated real point, not a smooth circle tangent.
פרשן מצב חדש
- נגזר כל איבר, שמור על כל גורמי שרשרת/מכפלה, אגר את איברי y′ ונסח תנאי מכנה נוצר. הצב בנקודה המקורית והשתמש בצורת נקודה-שיפוע למשיק. משיק אופקי יש לו שיפוע סופי אפס ונורמל אנכי; משיק אנכי דורש משוואת קו משלו. שיעור זה משתמש בנגזרות ראשונות בלבד, בהתאמה ל-G5.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
For e^y+x=3 at (2,0), find dy/dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
e^y y′=−1; at y=0 this gives −1.
Match each implicit-differentiation case to its outcome.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Verify the point lies on the relation first; a zero denominator signals a vertical tangent or singular point, not a finite gradient.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · G. התאם את רמת היעד והמפרט לפני שאתה מ assigning extensions.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
משוואה המקשרת בין x ו-y ללא בידוד אחד כפונקציה מפורשת של השני. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ועבד את התוצאה.