Connected rates, geometry and time units
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| connected rates/kəˈnektɪd reɪts/ | קצבים קשורים |
גוף כדורי מקבל נפח בקצב קבוע. האם הרדיוס שלו גדל בקצב קבוע גם כן?
- גוף כדורי מגדיל נפח בקצב קבוע. האם רדיוסו גדל גם הוא בקצב קבוע?
- שיעור זה עוסק בקצבים מקושרים: קצבים הקשורים באמצעות קשר בין כמויות הנשתנות עם משתנה זמן זהה.
בחר את המבנה המתמטי
- אם y=f(x) ו-x משתנה לפי הזמן t, אז dy/dt=(dy/dx)(dx/dt). חלץ קשר בין כמויות משתנות, נגזר לפי הזמן, והציב את הערכים המנופים ברגע זה. שמור על משתנה הזמן ועל הסימן והיחידות של כל קצב. עבור כדור V=(4/3)πr³ ו-A=4πr², ולכן dV/dt=4πr² dr/dt ו-dA/dt=8πr dr/dt.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
Why must the radius NOT be substituted into V=(4/3)πr³ before differentiating with respect to time?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The relation must be differentiated WHILE r is still a function of t. Differentiate first, then substitute the instant’s values: at r=3 with dV/dt=18π, dr/dt=18π/(36π)=1/2 cm/s.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
כדור בעל רדיוס 3 ס"מ ומגדיל נפח ב-18π ס"מ³/שנייה. קצב הרדיוס האינסטנטיאלי שלו הוא 18π/(4π×9)=1/2 ס"מ/שנייה, וקצב השטח הוא 8π×3×(1/2)=12π ס"מ²/שנייה. זהו קצב מקומי; כאשר r גדל, אותו קצב נפח מניב קצב רדיוס קטן יותר. במכל צנור whose full radius is half its full height (שקוטרו המלא הוא מחצית הגובה המלא), דמיון נותן r=h/2 בכל רמת מים. לכן V=πh³/12 ו-dV/dt=(πh²/4)dh/dt. ב-h=4 ס"מ ובכניסת 8π ס"מ³/שנייה, מתקבל dh/dt=2 ס"מ/שנייה. עבור מדרגה קבועה בגודל 5 מ', מתקיים x²+y²=25; בנקודה (x,y)=(3,4) מ' וב-dx/dt=0.2 מ'/שנייה, מתקבל dy/dt=−(3/4)×0.2=−0.15 מ'/שנייה: החלק העליון יורד.
Connected rates, geometry and time units
If y=f(x) and x varies with time t, dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)
Identify the appropriate changing variable and validate the derivative denominator or local branch.
Find the worked sphere radius rate in cm/s.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Divide 18π by 4π×3² to obtain 1/2.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- אל תציב את הרדיוס או הגובה הנוכחיים לפני הנגזירה: הדבר יהפוך שוואה זו לשגרה בצורה שגויה. dV/dt אינו dV/dr. רדיוס של צנור משתנה חייב לעקוב אחר יחס הדמיון, ולא להישאר קבוע בערכו הנוכחי. המיר מידת כניסה לדקה למידה לשנייה לפני שמשלב אותה עם נתונים מבוססי שניות. קצב שלילי פירושו ירידה, לא אורך שלילי.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
הציב רדיוס שנמדד בנוסחת הנפח לפני שנגזרים אותה לפי הזמן. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
Find the worked cone height rate in cm/s.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Similarity gives dV/dh=πh²/4; at h=4 divide 8π by 4π to obtain 2.
Substitute a measured radius into the volume formula before differentiating it with respect to time.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Do not substitute the current radius or height before differentiating: that would falsely turn the relation into a constant. dV/dt is not dV/dr. A changing cone radius must follow the similarity relation, not stay fixed at its current value. Convert a per-minute inflow to a per-second rate before combining it with second-based data. Negative rate means decrease, not a negative length.
פרשן מצב חדש
- צייר את הגיאומטריה, זיהה קבועים ונסח יחידות זמן/מדידה תקפות. ביטל משתנה משתנה נוסף באמצעות דמיון או מגבלה, ואז נגזר. השתמש בערכים מאותו רגע וספק כיוון לתוצאה. הנחות פיזיקליות, כגון אורך מדרגה קבוע או כדור אמיתי, מגבילות את המודל; הקצבים אינם חייבים להישאר קבועים לאחר רגע זה.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
Find the ladder top rate in m/s.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Differentiate the fixed ladder constraint: dy/dt=−(3/4)×0.2=−0.15.
Match each connected-rates step to its purpose.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Signs carry direction - a negative dy/dt means the ladder top descends - and every rate must share the same time unit before combining.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · G. התאם את רמת היעד והמפרט לפני שאתה מ assigning extensions.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
קצבים הקשורים באמצעות קשר בין כמויות הנשתנות עם משתנה זמן זהה. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.