Inverse derivatives at corresponding points
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| inverse derivative/ɪnˈvɜːs dɪˈrɪvətɪv/ | גזירה של פונקציה הפוכה |
כיול ממיר אורך לקריאה. כיצד ניפוך את הקצב המקומי שלו מבלי לקחת את ההפוכה של הפלט?
- כיול ממיר אורך לקריאה. כיצד ניפוך את הקצב המקומי שלו מבלי לקחת את ההפוכה של הפלט?
- שיעור זה לומד נגזרת הפוכה: הקצב של הפלט ההפוך ביחס לקלט שלו, מוערך בנקודה המקורית המתאימה.
בחר את המבנה המתמטי
- נניח ש-f היא חד-חד-ערכית על רווח נתון וג=f⁻¹. הזהות f(g(v))=v נותנת f′(g(v))g′(v)=1. כאשר הנגזרות קיימות ו-f′(g(v))≠0, g′(v)=1/f′(g(v)). ההפוך מוערך על פי הפלט המקורי v, ולא אוטומטית על אותו קלט מקורי x. ההפוכה 1/f(x) היא פונקציה אחרת.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
For f(x)=x²+1 on x≥0, why does g′(10) use f′(3), not f′(10)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The inverse at v=10 corresponds to the original input 3, where f′(3)=6. Using f′(v) directly would give 1/20 - the classic wrong-point error.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור f(x)=x²+1 על x≥0, g(v)=√(v−1), v≥1. ב-v=10, g(10)=3 ו-f′(3)=6, כך ש-g′(10)=1/6. על x≤0 הענף ההפוך הוא −√(v−1), עם g(10)=−3 ו-g′(10)=−1/6. עבור f=e^x, g=ln v: f′(g(v))=e^(lnv)=v, ולכן g′=1/v עבור v>0. עבור f=sin x על −π/2≤x≤π/2, g=arcsin v. בתוך −1<v<1, cos(g(v))=√(1−v²)>0, ולכן g′=1/√(1−v²). הקוסינוס האי-שלילי נובע מענף הסינון המוגבל; זוהי не随意 בחירת סימן.
Inverse derivatives at corresponding points
Let f be one-to-one on a stated interval and g=f⁻¹
Identify the appropriate changing variable and validate the derivative denominator or local branch.
For the positive quadratic branch, find g′(10).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The corresponding positive input is 3 and f′(3)=6, giving 1/6.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- אל תחליף את המכנה בנקודה המתאימה f′(g(v)) ב-f′(v). התנהגות חד-חד-ערכית לבדה אינה מבטיחה שיפוע הפוך סופי: x³ הוא הפיך, אך הנגזרת שלו היא אפס באפס ושורש קובי אינו בעל נגזרת סופית שם. קצוות הפוך שורש/ארכסינוס יכולים גם כן להفتקין שיפועים סופיים. ענפים הפוכים שונים יכולים לתת סימנים שונים.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
הנגזרת של הפוך היא תמיד 1/f′(v), מוערכת על קלט ההפוך v. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפגינה.
For g(v)=ln v, find g′(4).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The exponential derivative at ln4 is 4, so its inverse rate is 1/4.
The derivative of an inverse is always 1/f′(v), evaluated at the inverse input v.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Do not replace the corresponding-point denominator f′(g(v)) by f′(v). One-to-one behaviour alone does not ensure a finite inverse gradient: x³ is invertible, but its derivative is zero at zero and cube root has no finite derivative there. Root/arcsine inverse endpoints can also lack finite gradients. Different inverse branches can give different signs.
פרשן מצב חדש
- הגבל את תחום הקלט המקורי, מצא זוג קלט/פלט הפוך, נגזור את f והערכ את הנגזרת שלה על קלט מקורי שנשחזר. אז קח את ההפוכה רק אם שיפוע סופי זה אינו אפס. החלף יחידות אופקיות ואנכיות עבור קצב ההפוך. בדוק את התוצאה על ידי נגזורת הפוך מפורש כאשר הוא זמין.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
For the negative quadratic branch, find g′(10).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The corresponding negative input is −3 and f′(−3)=−6, giving −1/6.
Match each inverse-derivative fact to its statement.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Different branches give different signs: on x≤0 the same v=10 corresponds to -3 and g′(10)=-1/6.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · G. התאם את רמת היעד והמפרט לפני שאתה מ assigning extensions.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
הקצב של הפלט ההפוך ביחס לקלט שלו, מוערך בנקודה המקורית המתאימה. בחר בקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.