נגזרות של פונקציות מעריכית, לוגריתמית וטריגונומטרית
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| inner rate/ˈɪnə reɪt/ | קצב פנימי |
גל עם תדירות כפולה של הקלטו יש שיפול התחלתי תלול יותר. איזה גורם חייב להופיע בנגזרת שלו?
- גל עם תדירות כפולה של הקלטו יש שיפול התחלתי תלול יותר. איזה גורם חייב להופיע בנגזרת שלו?
- שיעור זה עוסק בקצב פנימי: הנגזרת של הקלט המתغير בתוך פונקציה מורכבת.
בחר את המבנה המתמטי
- עבור קבוע k ו-a>0: (e^(kx))′=k e^(kx), (a^(kx))′=k ln(a)a^(kx), (sin kx)′=k cos kx, (cos kx)′=−k sin kx ו-(tan kx)′=k sec²(kx), כאשר sec u=1/cos u. קלט טריגונומטרי הוא ברדיאנים. (ln x)′=1/x עבור x>0. הוסף איברים מוגזרים ושמר את המקדמים שלהם.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
מדוע נגזירת a^(kx) דורשת גם את הגורם ln a וגם את k?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רק פונקציית e^(kx) נגזרת ל-k כפול עצמה. כל בסיס אחר ניתן לכתיבה מחדש באמצעות e, והאקספוננט kx ln a מביא למטה את המקדם k ln a. שכחון של ln a גורם לשגיאה כבר עבור 2^x.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור x>0 ו-cos(x/2)≠0, נתונה הפונקציה f=2e^(3x)+3^(2x)−4lnx+sin2x−2cos3x+tan(x/2). אזי f′=6e^(3x)+2ln3·3^(2x)−4/x+2cos2x+6sin3x+(1/2)sec²(x/2). האיבר −2cos3x נותן 6sin3x חיובי מכיוון שגם המקדם וגם סימן הנגזרת שליליים. עבור g=5^(−2x), מתקיים g′=−2ln5·5^(−2x), ולכן g′(0)=−2ln5. עבור h=sin2x−2cos3x+tan(x/2), מתקיים h′(0)=2+0+1/2=5/2. עבור p=2e^(3x), מתקיים p′(0)=6. בסיס a=1 נותן קבוע 1 ונגזרת אפס; k=0 מייצר גם כן פונקציות קבועות.
נגזרות של פונקציות מעריכית, לוגריתמית וטריגונומטרית
עבור k קבוע ו-a>0: (e^(kx))′=k e^(kx), (a^(kx))′=k ln(a)a^(kx), (sin kx)′=k cos kx, (cos kx)′=−k sin kx ו-(tan kx)′=k sec²(kx), כאשר sec u=1/cos u
בחרו את כלל הנגזרה ושמרו על כל מקדם, קצב פנימי ואילוצי משתנה.
עבור p=2e^(3x), מצאו את p′(0).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שמרו על המקדם 2 ועל הקצב הפנימי 3: 6e⁰=6.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- הבסיס המעריכי הוא קבוע אך המעריך משתנה: a^(kx) דורש גם את ln a וגם את k. נגזרת של ln x היא 1/x, ולא ln x/x. הטנגנס אינו מוגדר כאשר cos(kx)=0, ונגזרתה שומרת על האיסורים הללו. נוסחי הנגזרה ברדיאנים דורשים גורמי π/180 למשתנים במעלות. ערך k שלילי משנה את סימן הקצב הפנימי; הוא לא יכול להיעלם.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
נגזרת של a^(kx) היא k a^(kx) לכל בסיס חיובי a. טענה זו שגויה. הסבר מהי ההגדרה או ההנחה שהיא סותרת.
עבור f העובדנית, מצאו את f′(0).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2cos0+6sin0+(1/2)sec²0=5/2.
נגזרת ה-f(x)=a^(kx) היא k a^(kx) עבור כל בסיס חיובי a.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בסיס המעריכית הוא קבוע אך ההערכה משתנה: a^(kx) דורש גם ln a וגם k. הנגזרת של ln x היא 1/x, ולא ln x/x. הטנגנס מוגדר לאיפה ש-cos(kx)=0 והנגזרת שלו שומרת על חריגות אלו. נוסחי נגזרות ברדיאנים זקוקים לגורמי π/180 למשתנים במעלות. ערך k שלילי משנה את סימן הקצב הפנימי; הוא אינו יכול להיעלם.
פרשן מצב חדש
- זיהוי משפחת הפונקציה, שמירה על המקדם שלה, נגזור את הפונקציה החיצונית והכפל ב-k. רשימת אי-ההגדרות של לוגריתם וטנגנס לפני הערכה בנקודה. בדוק את הסימן בהשוואה לפונקציה מעריכית עולה/ירידה או לכיוון הגל המקומי. נגזרות של צירופים ליניאריים מתקבלות על ידי חיבור, ולא על ידי כפל איברים.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
עבור y=ln x, מצאו את הנגזרת שלה בנקודה x=4.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הקלט החיובי 4 נותן 1/4.
התאם כל פונקציה לגזרתה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
פרמטרי טריגונומטריה נתונים ברדיאנים; לכל איבר מורכב נשמר המקדם שלו וגם גורם הקצב הפנימי, כולל הסימן.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · G. התאם את רמת היעד והמפרט לפני שאתה מ assigning extensions.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
הנגזרת של הקלט השתתף בתוך פונקציה מורכבת. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.