נגזרות של חזקות רציונליות ותחומי הגדרה תקפים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| rational power/ˈræʃənl ˈpaʊə/ | מעריך שבור |
לעקום שורש יש גובה סופי באפס אך שיפול בלתי מוגבל בסמוך. מדוע לנגזרת חייב להיות תחום הגדרה משלה?
- לעקום שורש יש גובה סופי באפס אך שיפול בלתי מוגבל בסמוך. מדוע לנגזרת חייב להיות תחום הגדרה משלה?
- שיעור זה עוסק ב-חזקה רציונלית: מעריך שיכול להיכתב כשבר של מספרים שלמים, ומפורש בשורש אמיתי תקף.
בחר את המבנה המתמטי
- עבור מעריך רציונלי p, d(x^p)/dx=p x^(p−1) בכל מקום שבו הפונקציה האמיתית מוגדרת ונגזרת. הכפילו במקדם קבוע; גזרו סכומים והפרשים איבר-איבר. קבוע נגזרתו אפס. כתבו שורשים ומכפלים הפוכים כחזקות לפני שמורידים אחד מהמעריך. x חיובי תקף לכל החזקות הרציונליות; קלטות שליליות ואפס דורשות בדיקות נפרדות.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
√x מוגדר ב-x=0. מדוע הנגזרת שלו אינה סופית שם?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קיום הפונקציה בנקודה אינו מעיד על נגזרת סופית: המנה ההפרשית עבור √x ב-0 היא 1/√h, הנוללת. יש לבדוק בנפרד את תחום ההגדרה של f ואת תחום ההגדרה של f′.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור x>0, f=3√x−4/x+1/√x נותן f′=(3/2)x^(−1/2)+4x^(−2)−(1/2)x^(−3/2). ב-x=4 זהו 3/4+1/4−1/16=15/16. עבור q=x^(2/3)=(שורש קובי של x)², x שלילי מותר; q′=(2/3)x^(−1/3) עבור x≠0, ולכן q′(−8)=−1/3. ב-0 ל-q יש צומת: המנה הפרשנית |h|^(2/3)/h מתפשטת עם סימנים הפוכים. עבור r=x^(4/3), [r(h)−r(0)]/h = שורש קובי של h שואף לאפס, ולכן r′(0)=0. כך שהחזקה השברית אינה מפסילה באופן אוטומטי את 0 מהנגזרת.
נגזרות של חזקות רציונליות ותחומי הגדרה תקפים
למעריך רציונלי p, הנגזרת d(x^p)/dx = p·x^(p−1) בכל מקום שבו הפונקציה הממשית מוגדרת ונגזרת.
בחרו את כלל הנגזרה ושמרו על כל מקדם, קצב פנימי ואילוצי משתנה.
לפונקציה f המופרשת, מצאו את f′(4).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(3/2)/2+4/16−(1/2)/8=15/16.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- תחום ההגדרה המקורי ותחום הנגזרת יכולים להיות שונים. √x מוגדר ב-x=0, אך 1/(2√x) אין לו ערך סופי שם; 1/√x לא מוגדר שם בכלל. בסיס שלילי אמיתי זקוק לחזקה שברית מצומצמת עם מכנה אי-זוגי. עבור x<0, x^(2/3) פירושו הריבוע של שורש הקובי הממשי שלו, ולא חישוב לוגריתם ממשי לא חוקי. אל תגזור מ倒数 על ידי שמירה על אותה חזקה או השלמת הסימן המינוס.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
כל פונקציית חזקה רציונלית המוגדרת באפס יש לה נגזרה סופית שם. טענה זו שגויה. הסבירו באיזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
לפונקציה x^(2/3), מצאו את הנגזרת בנקודה x=−8.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
השורש הממשי הקובי של −8 הוא −2; (2/3)/(−2)=−1/3.
כל פונקציית חזקה רציונלית המוגדרת באפס בעלת נגזרת סופית שם.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
תחום ההגדרה של השורש המקורי ותחום הנגזירה עשויים להשתנות. √x מוגדר ב-x=0, אך 1/(2√x) אינו מקבל ערך סופי שם; 1/√x אינו מוגדר שם כלל. בסיס ממשי שלילי דורש מעריך רציונלי מוקטן עם מכנה אי-זוגי. עבור x<0, הביטוי x^(2/3) מתאר את הריבוע של השורש הממשי הקובי שלו, ולא חישוב לוגריתמי ממשי לא תקף. אל תגזרו מהופכות על ידי שמירה על אותו מעריך או פינוי הסימן השלילי.
פרשן מצב חדש
- ציינו תחום הגדרה מקורי תחילה, כתבו מחדש כל איבר, הכפילו את המקדם שלו במעריך והורידו אחד ממנו. חזרו לשורשים אם נתבקש. בדקו קלטות גבול עם המינוח המקורי כאשר הנגזרה הפורמלית אינה מוגדרת או אינה מחליטה. שמרו על מקדמי שברים מדויקים עד ההערכה הסופית.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
לפונקציה x^(4/3), מצאו את הנגזרת בנקודה x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
המכנה לפרשנות המקורי הוא השורש הממשי של h ונוטה לאפס.
התאם כל חזרה לחזקה לסוגה הנגזרת.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שנה שורשים ומכפלים הפוכים לחזקות תחילה, ולאחר מכן יישם px^(p-1) עם המקדם; החזקה יורדת בדיוק ב-1.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · G. התאם את רמת היעד והמפרט לפני שאתה מ assigning extensions.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
מעריך שיכול להיכתב כשבר של מספרים שלמים, ומפורש בשורש אמיתי תקף. בחרו את הקשר, הצגו את השיטה, בדקו את ההנחות ופרשו את התוצאה.