גרפים של מידת שיפוע, קעירות ובדיקות נקודות עיקום
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | נקודת מעבר |
שני עקומים יכולים להיות לשניהם שיפוע אפס, אך אחד מתעקם והשני ממשיך לעלות. איזה גרף שיפועים מבדיל ביניהם?
- שני עקומים יכולים להיות לשניהם שיפוע אפס, אך אחד מתעקם והשני ממשיך לעלות. איזה גרף שיפועים מבדיל ביניהם?
- שיעור זה עוסק בנקודת התחלפות: נקודה בה עקום רציף משנה את כיוון הקמירות שלו.
בחר את המבנה המתמטי
- הסימן של f′ מזהה תחומי עלייה או ירידה. אפסים של f′ הם מועמדים למנוחה. שינוי מ-+ ל-− נותן מקום מקומי; − ל-+ נותן מינימום מקומי. הנגזרת השנייה f″ מודדת כיצד השיפוע משתנה: חיובי משמעו שיפוע עולה ועקום קמור (קמור-למעלה); שלילי משמעו שיפוע יורד ועקום קעור (קעור-למטה). נקודת התחלפות דורשת שינוי בקמירות, ולא רק f″=0.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
עבור q=x⁴, מתקיים q″(0)=0. מדוע (0,0) אינו נקודת היפוך?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נקודת קעירות דורשת שינוי בקעירות - שינוי סימן ב-f″. אפס הנגזרת השנייה לבדו אינו מספיק; יש לבדוק את הסימנים משני צדיה, שכן ב-x³ הסימן מתחלף ב-0, בעוד שב-x⁴ הוא אינו מתחלף.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור f=x³−3x, נקבל f′=3x²−3 ו-f″=6x. הגרף של הנגזרת הראשונה נמצא מעל האפס עבור x<−1 or x>1 ומתחת לאפס עבור −1<x<1. לכן (−1,2) היא מקסימום מקומי ו-(1,−2) מינימום מקומי. הנגזרת השנייה משנה סימן מהשלילי לחיובי ב-x=0, ולכן (0,0) היא נקודת פיתול עם שיפוע שאינו אפס, −3. עבור g=x³, הנגזרת g′=3x² נשארת חיובית משני צדי האפס: (0,0) היא נקודת פיתול יציבה, ולא נקודת קיצון. עבור q=x⁴, הנגזרת q′=4x³ משנה סימן מ-ל+ והנגזרת השנייה q″=12x² אינה שלילית: (0,0) היא מינימום, אך אינה נקודת פיתול גם אם q″(0)=0.
גרפים של מידת שיפוע, קעירות ובדיקות נקודות עיקום
הסימן של f′ מזהה מרווחים עולים או יורדים
קשר חישוב גזירה לגבול או לפרשנות סימן השיפוע.
עבור x³−3x, מצא את הקואורדינטה y של המקסימום המקומי.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
בערך x=−1, הנגזרת משנה סימן מ+ ל−, ו-f(−1)=2.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- אל תבלבדו בין הגובה של f לבין הנגזרת f′. עקום יורד יכול להציג נגזרת עולה בעוד שהוא נשאר מתחת לאפס בגרף הנגזרות. המבחן f″(a)=0 אינו מחליט; יש לבדוק את הסימנים משני צדדים. נקודת קעירות (inflection) אינה חייבת להיות נקודת קיצון, ונקודת קיצון אינה חייבת להיות נקודת קעירות. קיצוניות בקצוות על מרווח מוגבל דורשת גם בדיקת הקצוות עצמם.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
כל נקודה שבה הנגזרת השנייה היא אפס היא נקודת קעירות. טענה זו שגויה. הסבירו באיזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
עבור x³−3x, מצא את f″(1).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
גזור פעמיים: f″=6x, ולכן f″(1)=6.
כל נקודה שבה הנגזרת השנייה מתאפסת היא נקודת עיקום.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אל תבלבל בין הערך של f לבין המידה f′. פונקציה יורדת יכולה להיות בעלת מידה עולה בעוד שהיא נשארת מתחת לאפס בגרף המידות. הבדיקה f″(a)=0 אינה מכריעה; בדוק סימנים בשני הצדדים. נקודת עיקום אינה חייבת להיות נקודה סטטינית, ונקודה סטטית אינה חייבת להיות מקסימום או מינימום. מקסימומים ומינימום בקצוות של interval מוגבל דורשים גם כן בדיקת הקצוות.
פרשן מצב חדש
- סנכרנו את ציר ה-x של העקום המקורי עם גרף הנגזרות. סימנו אפסים של f′ ובנו区间ות סימן לפני שנקבעים קיצונים. קראו את הקעירות מהעובדה שהגרף העולה או היורד. עבור פולינום דו-נגזר, השתמשו בשינוי סימן אמיתי של f″ כדי לקבוע נקודת קעירות ולחשב את הפונקציה המקורית לקבלת הקואורדינטות.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
עבור x⁴, מצא את q″(0).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
q″=12x² מתאפס באפס; דבר זה בלבד אינו מעיד על נקודת עיקום.
התאם כל דפוס סימני נגזרות לסיווג המתאים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הנגזרת הראשונה מזהה מועמדים; שינוי סימן - של f′ למקסימומים ומינימומים, ושל f″ לקעירות - מבצע את הסיווג.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · G. התאם את רמת היעד והמפרט לפני שאתה מ assigning extensions.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
נקודה שבה עקום רציף משנה את כיוון הקעירות שלו. בחרו את הקשר, הצגו את השיטה, בדקו את ההנחות ופרשו את התוצאה.