נגזרות של סינוס וקוסינוס על פי העקרונות הראשוניים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| radian limit/ˈreɪdɪən ˈlɪmɪt/ | גבול רדיאנים |
נקודה מסתובבת יש לה קואורדינטות סינוס וקוסינוס. איך השינויים הקטנים ביותר בקואורדינטות הללו מובילים לנוסחאות נגזרות מדויקות?
- נקודה מסתובבת יש לה קואורדינטות סינוס וקוסינוס. איך השינויים הקטנים ביותר בקואורדינטות הללו מובילים לנוסחאות נגזרות מדויקות?
- שיעור זה עוסק בגבול רדיאנים: גבול זווית קטן המשמש עם זוויות הנמדדות ברדיאנים.
בחר את המבנה המתמטי
- ברדיאנים, sin h/h שואף ל1 ו-(cos h−1)/h שואף ל0 כאשר h שואף לאפס. שימוש בנוסחאות חיבור זוויות ביחס ההפר נותן d(sin x)/dx=cos x ו-d(cos x)/dx=−sin x. גבולים אלו קובעים את שיפועי המשיק; הם דורשים קלט ברדיאנים.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
מדוע נוסחות הנגזרת של sin ו-cos דורשות רדיאנים?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הגבול הגיאומטרי sin h<h<tan h הוא טענה לגבי ארכי קשת ברדיאנים. במעלות הגבול הוא π/180, וכל נגזרת מכופלת בגורם זה.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור sin x, [sin(x+h)−sin x]/h = sin x[(cos h−1)/h]+cos x[sin h/h], ושואף ל-cos x. עבור cos x היחס הוא cos x[(cos h−1)/h]−sin x[sin h/h], ושואף ל-italic sin x. בסמוך לאפס, אי-שוויון מעגל היחידה sin h<h<tan h עבור 0<h<π/2 מגביל את sin h/h בין cos h ל-1; עבור h שלילי מתקבל אותו יחס. כמו כן, (cos h−1)/h = −2sin²(h/2)/h שואף לאפס, תוך שימוש ב-sin(h/2)/(h/2)→1. ב-x=π/6, שיפוע הסינוס הוא √3/2 ושיפוע הקוסינוס הוא −1/2. עבור סינוס ב-x=0, h=0.1 נותן sin(0.1)/0.1≈0.998334; ב-h=−0.1 היחס זהה.
נגזרות של סינוס וקוסינוס על פי העקרונות הראשוניים
ברדיאנים, sin h/h שואף ל1 ו-(cos h−1)/h שואף ל0 כאשר h שואף לאפס
קשר חישוב גזירה לגבול או לפרשנות סימן השיפוע.
מצא את הנגזרת של sin x בנקודה x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הוכחת הסינוס נותנת cos0=1.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- קירוב זווית קטנה אינו שוויון מדויק עבור h סופי. לנגזרת הקוסינוס יש סימן מינוס. אם משתנה θ נמדד במעלות, d sin(πθ/180)/dθ=(π/180)cos(πθ/180); לא ניתן העתיק את הנוסחה ברדיאנים ללא גורם זה. אל תשתמש בנוסחת הנגזרת עצמה כדי להוכיח את הגבול ההתחלתי.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
הנגזרת של cos x היא סינוס חיובי עבור x ברדיאנים. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
מצא את הנגזרת של cos x בנקודה x=π/2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הוכחת הקוסינוס נותנת −sin(π/2)=−1.
הנגזרת של cos x היא sin x חיובי עבור זוויות ברדיאנים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הקירוב לזוויות קטנות אינו שוויון מדויק בערך סופי. לנגזרת הקוסינוס יש סימן מינוס. אם המשתנה θ נמדד בדרגות, אז d sin(πθ/180)/dθ=(π/180)cos(πθ/180); נוסחת הרדיאנים לא יכולה להיות עתוקה ללא גורם זה. אל תשתמש בנוסחת הנגזרת עצמה כדי להוכיח את הגבול ההתחלתי.
פרשן מצב חדש
- התחל ביחס ההפר המקורי והשתמש בחיבור זוויות לפני החלת שני גבולי הרדיאנים. שמור על הגורמים הקבועים sin x/cos x ועל הסימנים שלהם. בדוק שיפועים בנקודות מדויקות בהתאם לכך שהגרף עולה או יורד; ההוכחה תקפה בכל x אמיתי ברדיאנים, ולא רק בסמוך ל-x=0.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
מצא את הנגזרת של sin x בנקודה x=π.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הוכחת הסינוס נותנת cosπ=−1.
התאם כל גבול ברדיאנים לערכו כאשר h→0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מנה ההפרש עבור סاین מתפרק ל-cos x·(sin h/h)+sin x·((cos h-1)/h), והגבולות השונים מספקים את cos x.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · G. התאם את רמת היעד והמפרט לפני שאתה מ assigning extensions.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
גבול זווית קטן המשמש עם זוויות הנמדדות ברדיאנים. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות והברר את התוצאה.