מיתרים, גבולות והגדרה ראשונית לגזירות חזקה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | מנה הפרשים |
חיישן מרחק מספק שתי מיקומים במרווח זמן קצר. מה קורה לקצב הממוצע שלהם כשהמרווח מתכווץ?
- חיישן מרחק מספק שתי מיקומים במרווח זמן קצר. מה קורה לקצב הממוצע שלהם כשהמרווח מתכווץ?
- LESSON STUDIES quotient of difference: The change in function output divided by a nonzero change in input.
בחר את המבנה המתמטי
- עבור h≠0, שיפוע המיתר הוא [f(x+h)−f(x)]/h. הנגזרת f′(x) היא הגבול שלה כאשר h שואף לאפס, אם הגבול הסופי דו-צדדי קיים. היא נותנת את שיפוע המשיק ואת הקצב הרגעי. המשתנה h עשוי להתקרב לאפס משני הצדדים; פשוטו לפני קיחת הגבול.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
למה לא ניתן להציב h=0 ישירות ב-[f(x+h)-f(x)]/h?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ביטול h תקין עבור h שאינו אפס: עבור x² המכנה הוא בדיוק 2x+h, הגבול שלו כאשר h→0 הוא 2x. הנגזרת היא הגבול הזה, ולא הערך ב-h=0.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור f(x)=x², [(x+h)²−x²]/h=2x+h, ולכן f′(x)=2x. ב-x=1, הערכים h=1,0.5, −0.5 נותנים שיפעי מיתרים 3,2.5,1.5, הנשאים ל-2 משני הצדדים. המשיק דרך (1,1) נתון על ידי y−1=2(x−1). עבור f(x)=x³, הפיתוח מוביל ל-3x²+3xh+h², ומכאן f′(x)=3x². קבוע נותן אפס ו-f(x)=x נותן אחד. עבור כל מספר טבעי חיובי n, פיתוח הבינומי משאיר nx^(n−1) plus איברים המכילים h, ולכן הגבול הוא nx^(n−1). הארגומנט הזה לבדו אינו מוכיח את הכלל לחזקות רציונליות.
מיתרים, גבולות והגדרה ראשונית לגזירות חזקה
עבור h≠0, שיפוע המיתר הוא [f(x+h)−f(x)]/h
קשר חישוב גזירה לגבול או לפרשנות סימן השיפוע.
מצא את הגזירה של x² בנקודה x=1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
יחס ההפר המופשט שואף ל2x; ב-x=1 זהו 2.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- ההצבה h=0 במנה还没 המופרדת נותנת 0/0, ולא שיפוע. ביטול h תקף עבור h≠0 לפני הגבול. רציפות לבדה אינה מספיקה: ב-x=0, ל-|x| יש מנה ימנית 1 ומנה שמאלית −1, ולכן אין נגזרת שם. המשיק הוא קו מקומי, לא החלפה מדויקת לכל העקומה.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
מנה פרשנית ניתן לחשב בהצבת h=0 לפני הפישוט. טענה זו שגויה. הסבר באילו הגדרה או הנחה היא מפרה.
עבור x³, מצא f′(2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
יחס ההפר הקובי שואף ל3x²; ב-x=2 זהו 12.
יחס הפרף ניתן לחישוב על ידי הצבת h=0 לפני הפישוט.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הצבת h=0 ביחס לא מופשט נותנת 0/0, ולא שיפוע. ביטול ה-h תקף עבור h≠0 לפני הגבול. רציפות לבדה אינה מספיקה: ב-x=0, |x| יש לו יחס ימי 1 ויחס שמלי −1, ולכן אין גזירה שם. המשיק הוא קו מקומי, ולא החלפה מדויקת לכל העקומה.
פרשן מצב חדש
- כתוב את יחס ההפר, פתח, צמצם רק כאשר מופיע h≠0, וקח את הגבול. פרש יחידות של נגזרת כיחידות התוצאה חלקי יחידות הקלט. כאשר שאלה דורשת "מעקרונות ראשונים", סתם ציטוט של nx^(n−1) אינו מבסס את הגבול. בפינה בדוק את שני כיווני הגישה.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
עבור x² בנקודה x=1 עם h=0.5, מצא את שיפוע המיתר.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2x+h ב-x=1,h=0.5 נותן 2.5.
התאם כל מושג עקרונות ראשוניים למשמעותו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הגבול חייב להתקבל משני הצדדים; רציפות בלבד, כפי שמוכיח |x|, אינה מבטיחה נגזרות.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · G. התאם את רמת היעד והמפרט לפני שאתה מ assigning extensions.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
השינוי בתפוקת הפונקציה חלקי שינוי לא-אפס בקלט. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות והברר את התוצאה.