קצבים פרופורציונליים, מחצית חיים וגבולות המודל
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| proportional rate/prəˈpɔːʃənl reɪt/ | קצב פרופורציונלי |
כמות דועכת מאבדת יותר בשעה ככל שנותרה יותר. מדוע חצי חיים קבוע אינו אומר חיסור קבוע?
- כמות דועכת מאבדת יותר בשעה ככל שנותרה יותר. מדוע חצי חיים קבוע אינו אומר חיסור קבוע?
- שיעור זה עוסק בקצב פרופורציונלי: קצב שינוי השווה למכפלה של קבוע בכמות הנוכחית.
בחר את המבנה המתמטי
- עבור y=Ae^(kt), dy/dt=ke^(kt)A=ky. A>0 היא הכמות ההתחלתית; k הוא קבוע פרופורציונלי ביחידות זמן הפוכות. k חיובי נותן גדילה, k שלילי נותן דעיכה, k אפס נותן קבוע. לאורך זמן Δt המכפיל הוא e^(kΔt). זמן הכפלה הוא ln2/k עבור k>0; חצי חיים הוא ln2/|k| עבור k<0.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
עבור Q=80e^(-λt) עם מחצית חיים 4 שעות, מדוע ההפסדים השעתיים אינם שווים?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קצב פרופורציונלי קבוע פירושו אותה שבר ביחידת זמן, ולא אותו סכום. ההפסד המוחלט בכל מרווח יורד ככל שהסכום עצמו יורד.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
השתמש בדוגמה להפחתה Q=80e^(−λt), t בשעות ו-λ=ln2/4. אז Q₄=40, Q₈=20 ו-Q₁₂=10: כל צעד ארבע שניות חוצי את הכמות. ב-t=4 הקצב הוא Q′=−40λ=−10ln2 יחידות כמות לשעה. פתרון של Q≤10 נותן t≥12; התנאי המחמיר הוא Q<10 instead needs t>12. עבור דוגמה לחישוב מתמטי P=100e^(0.1t), t בשנים, P₁≈110.517 והגידול היעיל השנתי הוא כ-10.517%, ולא 10%. אם הגידול השנתי היעיל הנתון הוא 10%, השתמש ב-k=ln1.1. אין לבלבל בין ריבית ערומונה רציפה לבין כפילה שנתית מצוינת.
קצבים פרופורציונליים, מחצית חיים וגבולות המודל
עבור y=Ae^(kt), dy/dt=ke^(kt)A=ky
ציינו את הקלט תקף, המשתנה המצויר או יחידת הזמן לפני שימוש בקשר הלוגריתמי/האקספוננציאלי.
מצא את Q ב-t=4 שעות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
80e^(−ln2)=40.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- המעריך חסר ממדים: מעבר משעות לדקות משנה את k בגורם 1/60. מחצית חיים אינה הזמן להגיע לאפס; A חיובי כפול פונקציה אקספוננציאלית נשארת חיובית לכל זמן סופי. ההפסד המוחלט משתנה בהתאם לכמות, גם אם הקצב הפרופורציונלי קבוע. סף שלם תקופה ראשון דורש בדיקות של מספרים שלמים סמוכים ולא רק מעבר רציף.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
קצב פרופורציונלי אקספוננציאלית קבוע פירושו שהאותה כמות מוחלטת מאבדים בכל מרווח זמן שווה. טענה זו שגויה. הסבירו איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
מצא את Q ב-t=8 שעות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
80e^(−2ln2)=20.
קצב פרופורציונלי אקספוננציאלי קבוע פירושו שהיכולת הרווחה זהה בכל מרווח זמן שווה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המעריך חייב להיות ממדי: שינוי שעות לדקות משנה את k בגורם 1/60. מחצית חיים היא לא הזמן להגיע לאפס; A חיובי כפול אקספוננציה נותר חיובי לכל זמן סופי. הפסדים מוחלטים משתנים בהתאם לכמות למרות שקצב הפרופורציונלי קבוע. סף של תקופה שלמה ראשונה דורש בדיקות של מספרים שלמים סמוכים ולא רק חצייה רציפה.
פרשן מצב חדש
- ציינו יחידות זמן/כמות, תנאים ראשוניים והנחת קצב קבוע. השוו התצפיות עם החזיות לפני גזירה. משאבים מוגבלים, שינויים בתנאים סביבתיים, עמלות או משיכות יכולות לבטל מודל צמיחה פשוט; שינויים בתנאי דעיכה יכולים לדרוש מודל קצב משתנה או רב-שלבי. אלו מודלים ממוחשבים מראית, ולא תנאי מוצר או הוראות טיפול.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
מצא את הזמן הראשון בשעות שבו Q≤10.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ln(80/10)/(ln2/4)=12; דעיכה מונוטונית נותנת Q≤10 מאות זמן ואילך.
התאם כל כמות במודל מעריכי לנוסחה שלה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
המעריך חייב להיות ללא ממד, כך שק-k נושאת יחידות של זמן הפוך הקשורות ליחידת הזמן הנזכרת; שינוי שעות לדקות משנה את סקאלת k.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-Level · F. התאם את רמת היעד והמפרט לפני שאתה מקצה הרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
קצב שינוי השוו לקבוע כפול הכמות הנוכחית. בחרו את הקשר, הראו את השיטה, בדקו את ההנחות ופרשנו את התוצאה.