חוקי לוגריתמים, חזקות שליליות ותחומי הגדרה למשוואות.
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | ארגומנט |
שילוב שני לוגריתמים יכול לייצר רב-מונה עם שורש נוסף. איזה תנאי קלט מקורי דוחה אותו?
- שילוב שני לוגריתמים יכול לייצר רב-מונה עם שורש נוסף. איזה תנאי קלט מקורי דוחה אותו?
- שיעור זה עוסק ב-ארגומנט: הקלט בתוך הלוגריתם, שצריך להיות חיובי עבור לוגריתם ממשי.
בחר את המבנה המתמטי
- עבור a>0, a≠1 ו-u,v חיוביים: מתקיים log_a(uv)=log_a u+log_a v, log_a(u/v)=log_a u−log_a v, ו-log_a(u^k)=k log_a u עבור k ממשי. הכללים הללו נובעים מכפל/חילוק/חזקות במעריכיות. במיוחד k=−1 נותן הפוכה ו-k=−1/2 נותן שורש ריבועי הפוך. פור את משוואת a^x=b, כאשר b>0, באמצעות x=ln b/ln a.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
ln(x-1)+ln(x+1)=ln 8 נותן x²=9. מדוע x=-3 נדחה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המשוואה המקורית דורשת x-1>0 ו-x+1>0, ולכן x>1. הצורה המאוחדת ln(x²-1) מקבלת את -3, אך מועמד זה נכשל בכניסות המקוריות – תמיד בדוקו מועמדים בחלק הקודם.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור x>0, ln(x^(-1))=−ln x ו-ln(x^(-1/2))=−(1/2)ln x. פתרו ln(x−1)+ln(x+1)=ln8: התחום המקורי הוא x>1. מיזוג נותן ln(x²−1)=ln8, ולכן x²=9 ומועמדים ±3; רק x=3 מקיים את הארגומנטים המקוריים. עבור 3^x=20, x=ln20/ln3. אם 2^(2x)−2^x−2=0, הניחו u=2^x>0: (u−2)(u+1)=0, ולכן u=2 נותן x=1, בעוד ש-u=−1 בלתי אפשרי. גם ln(2+3)=ln5, בעוד ש-ln2+ln3=ln6; סכום בתוך לוגריתם לא ניתן לפצל כך.
חוקי לוגריתמים, חזקות שליליות ותחומי הגדרה למשוואות.
עבור a>0, a≠1 ו-u,v חיוביים: מתקיים log_a(uv)=log_a u+log_a v, log_a(u/v)=log_a u−log_a v, ו-log_a(u^k)=k log_a u עבור k ממשי
ציינו את הקלט תקף, המשתנה המצויר או יחידת הזמן לפני שימוש בקשר הלוגריתמי/האקספוננציאלי.
פתרו 3^x=27.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
27=3³, ולכן x=3.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- שילוב או הרחבת לוגריתמים אינה מבטלת את תחומי ההגדרה המקוריים שלהם. ln(u²)=2ln|u| עבור u≠0; כתיבת 2lnu דורשת בנוסף u>0. אין לחשב לוגריתם ממשי מאפס או צד ימני שלילי ב-a^x=b. עבור בסיס 1, 1^x=b יש פתרון לכל x ממשי כאשר b=1 ואין פתרונות אחרת; מנה הלוגריתמית אינה זמינה.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
כל שורש של ריבוי-איבר שהתקבל לאחר שילוב לוגריתמים מקיים את משוואת הלוגריתם המקורית. טענה זו שגויה. הסבר האילוץ או ההנחה שהוא מפר.
עבור x>0 כתבו ln(x^(-1/2))=klnx. מצאו את k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
חוק החזקות הופך את החזקה −1/2 לחוץ סוגריים: k=−1/2.
כל שורש פולינומי שהתקבל לאחר איחוד לוגריתמים מקיים את משוואת הלוגריתם המקורית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שילוב או פירוק לוגריתמים אינם מבטלים את תחומי ההגדרה המקוריים שלהם. ln(u²)=2ln|u| עבור u≠0; כתיבת 2lnu דורשת additionally u>0. אל תיקחו לוגריתם ממשי מאפס או מהצד הימני השלילי במשוואה a^x=b. עבור בסיס 1, 1^x=b יש פתרונות עבור כל x ממשי כאשר b=1 ואין פתרונות אחרת; המנה הלוגריתמית אינה זמינה.
פרשן מצב חדש
- רשימת מגבלות החיוביות קודם, השתמש בבסיס משותף אחד, ולאחר מכן יישם חוק תקף. לאחר האלגברה, הצב כל מועמד במשוואת הלוגריתם/האקספוננציאל המקורית. שמור על מנות לוגריתמיות מדויקות אלא אם נדרש עשרוני. שינוי בסיס הלוגריתם אינו משנה פתרון של משוואה אקספוננציאלית כאשר שתי מנות הלוגריתמים משתמשות באותו בסיס תקף.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
מצאו את ערכי ה-x המקובלים עבור ln(x−1)+ln(x+1)=ln8.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הערך x²=9 נותן ±3, אך שני הארגומנטים הלוגריתמיים המקוריים חיוביים רק עבור x>1; קבלו 3.
התאם כל חוק לוגריתמי לביונו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
החוקים נובעים מכללי מעריכים וחלים רק על ארגומנטים חיוביים; ln(x²)=2ln|x| דורש ערך מוחלט כאשר x יכול להיות שלילי.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-Level · F. התאם את רמת היעד והמפרט לפני שאתה מקצה הרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
הקלט בתוך הלוגריתם, שעלי להיות חיובי עבור לוגריתם ממשי. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.