גרפים מעריכיים והופכים לוגריتمיים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | לוגריתם |
פונקציה מעריכית מייצגת מעריך לכמות חיובית. איזה גרף מהופך את זוג הקלט-פלט הזה?
- פונקציה מעריכית מייצגת מעריך לכמות חיובית. איזה גרף מהופך את זוג הקלט-פלט הזה?
- שיעור זה עוסק ב-לוגריתם: המעריך שיש להרים בסיס תקין נתון כדי לייצר ערך חיובי.
בחר את המבנה המתמטי
- עבור a>0, הפונקציה y=a^x מקבלת כל קלט ממשי ומייצרת ערכים חיוביים. היא עוברת דרך (0,1). עבור a>1 היא עולה; עבור 0<a<1 it decreases. For a=1 it is the constant 1, with no inverse function. For a>0 ו-a≠1, הפונקציה y=log_a x היא ההופכת של a^x: תחום ההגדרה x>0, טווח כל הממשיים. הפונקציה ln x היא log_e x והיא מהופכת את e^x.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
למה ל-1^x אין נגזרת לוגריתמית?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נגזרת קיימת רק עבור פונקציה חד-חד-ערכית. הפונקציה הקבועה מקריסה כל x ל-1, ולכן "לוגריתם בסיס 1" אינו קיים; בסיסים תקפים הם a>0, a≠1.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
הגרף 2^x מכיל את הנקודות (−1,1/2),(0,1),(1,2),(2,4). ההופכת שלו, log₂x, מכילה את (1/2,−1),(1,0),(2,1),(4,2), והיא סימטרית ביחס ל-y=x. הגרף (1/2)^x נותן ערך 2,1,1/2 ב-x=−1,0,1, בעוד שההופכת שלו, log_(1/2)x, היא יורדת. עבור e^x ו-ln x, הנקודות (0,1) ו-(1,0) הן שותפים סימטריים; ln e=1 ו-lne(e³)=3. עבור כל ממשי u, מתקיים ln(e^u)=u; עבור x>0, מתקיים e^(ln x)=x. הלוגריתמים שואפים אך לא מגיעים לגבול האנכי שלהם x=0; הפונקציה e^x שואפת ל-y=0 כאשר x שואף לאינסוף מינוס.
גרפים מעריכיים והופכים לוגריتمיים
עבור a>0, הפונקציה y=a^x מקבלת כל קלט ממשי ונובעות לה תוצאות חיוביות.
ציינו את הקלט תקף, המשתנה המצויר או יחידת הזמן לפני שימוש בקשר הלוגריתמי/האקספוננציאלי.
מצא log₂(1/8).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2^(−3)=1/8, ולכן הלוגריתם הוא −3.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- לא קיים ln0 ולא לוגריתם של מספר ממשי שלילי בקורס המספרים הממשיים. תוצאה שלילית של לוגריתם מותרת: ln(1/e)=−1. בסיס 1 מותר לקבוע אקספוננציאלי אך לא ללוגריתם. עבור בסיס מתחת ל1, הפונקציה האקספוננציאלית שואפת לאפס כאשר x שואף לאינסוף חיובי, והפונקציה ההופכת היא בעלת כיוון עלייה/ירידה הפוך מהמקרה a>1.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
הפונקציה המעריכית הקבועה 1^x יש לה הופכה לוגריתמית לכל הקלטים החיוביים. טענה זו שגויה. הסביר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
חשב את ln(e³).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ln הוא ההופך של e מוגבה לכוח, ולכן ln(e³)=3.
לפונקציה האקספוננציאלית הקבועה 1^x קיים הפוך לוגריתמי לכל הקלטים החיוביים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לא קיים ערך עבור ln0 ולא קיים לוגריתם של מספר ממשי שלילי בקורס המספרים הממשיים. מותר לקבל תוצאה שלילית ללוגריתם: ln(1/e)=−1. הבסיס 1 מותר לפונקציה אקספוננציאלית קבועה אך לא ללוגריתם. עבור בסיס מתחת ל-1, הפונקציה האקספוננציאלית שואפת לאפס כאשר x שואף לאינסוף אינסופי חיובי, והפונקציה ההפוכה היא יורדת במקום לעלות (להפך למקרה a>1).
פרשן מצב חדש
- הצהירו את הבסיס, התחום והטווח לפני לקיחת ההופך. הפכו את קואורדינטות נקודות האקספוננציאל המדויקות כדי לבנות גרף לוגריתמי. שמרו על גבולות פתוחים ואסימפטות. המקור F3 מדפיס x≥0; תנאי הכניסה הלוגריתמי התקין המשמש כאן הוא x>0, מכיוון ש-a^u הוא חיובי לעולם לא אפס.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
מצאו את e^(ln5).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הקלט החיובי 5 נמצא בתחום ההגדרה של ln, ולכן e^(ln5)=5.
התאם כל זוג לקשר הנגזור.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
האקספוננציאל עובר בנקודה (0,1); הנגזרת שלו עוברת בנקודה (1,0). לוגריתמים מקבלים רק כניסות חיוביות, אף על פי שהתוצאות שלהן עשויות להיות שליליות.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-Level · F. התאם את רמת היעד והמפרט לפני שאתה מקצה הרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
המעריך שיש להרים בסיס תקין נתון כדי לייצר ערך חיובי. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.