Quadratic trigonometric equations and complete root sets
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| candidate/ˈkændɪdeɪt/ | תשובה מועמדת |
משוואה נותנת שני ערכים אפשריים לסין. כמה זוויות הן יוצרות בסיבוב מלא?
- משוואה נותנת שני ערכים אפשריים לסין. כמה זוויות הן יוצרות בסיבוב מלא?
- שיעור זה עוסק במועמד: פתרון אפשרי שעדיין דורש בדיקה במשוואה המקורית ובתחום.
בחר את המבנה המתמטי
- החלף פונקציית טריגונומטרית אחת ב-u, פתר את המשוואה האלגברית, ולאחר מכן פתר כל ערך טריגונומטרי תקף בטווח הנדרש. עבור סינוס/קוסינוס, השלכי u מחוץ ל-[−1,1]. טנגנס מקבל כל u ממשי סופי אך שולל זוויות בהן הקוסינוס הוא אפס. גוריי לפני חלוקה בפונקציית טריגונומטרית, כך שהמקרים של אפס יישארו.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
For 2cos²x-5cosx+2=0, the roots are cosx=1/2 and cosx=2. Why is only 1/2 usable?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The substitution u=cos x carries the range restriction [-1,1]. The algebraic root u=2 has no angle, leaving x=π/3 and 5π/3 from u=1/2 on [0,2π).
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
על 0≤x<2π, פתר 2sin²x−sinx−1=0. הניחי u=sinx: (2u+1)(u−1)=0, ולכן u=−1/2 או 1. הפתרונות הם 7π/6, 11π/6 ו-π/2; סדר אותם כ-π/2, 7π/6, 11π/6. עבור 2cos²x−5cosx+2=0, הערכים האלגבריים הם 1/2 ו-2; השלכי 2, ומכאן נותר x=π/3,5π/3. עבור tan²x−3tanx+2=0, tanx=1 או 2. מכאן x=π/4,5π/4, arctan2, π+arctan2, עם בדיקה של ארבעת הפתרונים במשוואה המקורית. עבור sinx cosx=sinx, גוריי sinx(cosx−1)=0: x=0 או π. ביטול sinx יוביל לאובדן הפתרון π.
Quadratic trigonometric equations and complete root sets
Replace one trig function by u, solve the algebraic equation, then solve each valid trig value on the stated interval
Explain the original interval, denominator or physical reference before using a trig equation.
How many solutions does 2sin²x−sinx−1=0 have on [0,2π)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sinx=1 gives π/2; sinx=−1/2 gives 7π/6 and 11π/6: three angles.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- ספורי זוויות ולא רק שורשים אלגבריים: ערך סינוס 1 מתאים לזווית אחת לכל סיבוב, בעוד שערכים פנימיים רבים מתאימים לשתיים. השלכי פלטות בלתי אפשריות של סינוס/קוסינוס לפני חישוב הפונקציות ההפוכות. אל תכללי 2π בטווח חצוי פתוח, ואל תרשי עמוד חוזר פעמיים.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
כל שורש ממשי של משוואה ריבועית ב-cosx הוא ערך קוסינוס מותר. טענה זו שגויה. הסביר איזה הגדרה או הנחה היא מפריעה לה.
How many solutions remain for 2cos²x−5cosx+2=0 on that interval?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Reject cosx=2; cosx=1/2 gives π/3 and 5π/3.
Every real root of a quadratic in cosx is an allowed cosine value.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Count angles rather than only algebraic roots: a sine value 1 has one angle per turn, while most interior values have two. Reject impossible sine/cosine outputs before taking inverse functions. Do not include 2π in a half-open interval, and do not list a repeated endpoint twice.
פרשן מצב חדש
- השתמשי באותיות זהות תחילה אם ישנם גם סינוס וגם קוסינוס: 2sin²x+cosx−2=0 הופכת ל-cosx(1−2cosx)=0, ונותנת x=π/2,3π/2,π/3,5π/3 על [0,2π). מכפלה מגורעת היא אפס כאשר אחד מהגורמים הוא אפס. בדקי כל מועמד מול התחום והטווח המקוריים, במיוחד לאחר חלוקה או הוצאה בריבוע.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
How many solutions does sinx cosx=sinx have on that interval?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Factor sinx(cosx−1)=0; x=0 and π, with 0 appearing only once.
Match each trig-equation step to its purpose.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Count ANGLES, not algebraic roots: sin x=1 gives one angle per turn while an interior value like -1/2 gives two.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · E. התאימו רמת מטרה ומפרט לפני הקצאת הרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
פתרון אפשרי שעדיין דורש בדיקה במשוואה ובטווח המקוריים. בחרו את הקשר, הראו את השיטה, בדקו את ההנחות ופרשו את התוצאה.