צורות זווית עזר, טווחים ופתרון בתחום
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | משרעת |
שני אפקטים מחזוריים פועלים יחד. האם כיפת זיז אחת יכולה להציג את המקסימום והמינימום המשותפים שלהם?
- שני אפקטים מחזוריים פועלים יחד. האם כיפת זיז אחת יכולה להציג את המקסימום והמינימום המשותפים שלהם?
- שיעור זה עוסק ב-משרעת: הגודל האי-שלילי של תנודה סביב קו המרכז שלה.
בחר את המבנה המתמטי
- עבור a ו-b שאינם שניהם אפס, כתבו a cosθ+b sinθ=R cos(θ−α), כאשר R=√(a²+b²)>0, cosα=a/R ו-sinα=b/R. בחרו את α במרובע הנכון. צורת הסין המקבילה R sin(θ+β) כוללת sinβ=a/R ו-cosβ=b/R. קבוע c מזיז את התחום ל-[c−R,c+R]. אם a=b=0, הביטוי הוא אפס ואין מופע יחיד מוגדר.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
מדוע האמפיטודה של ⟨3⟩ cos θ + ⟨4⟩ sin θ שווה ל-5 ולא ל-7?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כתיבת הסכום בצורת R cos(θ-α) דורשת R=√(a²+b²) כדי שהקוסינוס והסינוס של α יישארו בתחום [-1,1]. |a|+|b|=7 מגדיר טעות את התחום; התחום האמיתי של ⟨2⟩ + ⟨3⟩ cosθ + ⟨4⟩ sinθ הוא [-3,7].
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
3cosθ+4sinθ=5cos(θ−α), כאשר cosα=3/5, sinα=4/5 ו-α≈0.927295 רדיאנים. צורת הסין שלה היא 5sin(θ+β), כאשר β≈0.643501 רדיאנים. לכן 2+3cosθ+4sinθ נע בין −3 ל7. עבור 3cosθ−4sinθ, השתמשו ב-5cos(θ+α). עבור −3cosθ+4sinθ, פאזת הקוסינוס נמצאת ברביע השני, לא בארכי טנגנס הראשי השלילי. כדי לפתור 3cosθ+4sinθ=2 ב-[0,2π), הניחו δ=arccos(2/5)≈1.159279. אז θ=α±δ+2kπ; הערכים המותרים הם בערך 2.086575 ו-6.051201 רדיאנים. אגף ימני של 6 לא יניב פתרון, מכיוון שהמשרעת היא רק ⟨5.
צורות זווית עזר, טווחים ופתרון בתחום
עבור a ו-b שאינם שניהם אפס, כתוב a cosθ+b sinθ=R cos(θ−α), כאשר R=√(a²+b²)>0, cosα=a/R ו-sinα=b/R
הסבירו כיצד נובעת נוסחת הזווית מתנאים גיאומטריים או מתנאי המקדם.
מצאו את המשרעת של 3cosθ+4sinθ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
R=√(3²+4²)=5.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- arctan(b/a) פשוט יכול לבחור במרובע שגוי ולכשל כאשר a=0. התאימו גם את מקדמי הסין וגם את מקדמי הקוסינוס. המשרעת היא √(a²+b²), ולא |a|+|b|. אל תסתכלו על ערך הקוסינוס ההפוך העיקרי כפתרון היחיד. יחידת המידה של הזווית חייבת להתאים לתחום הנדרש.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
המשרעת של a cosθ+b sinθ היא תמיד |a|+|b|. טענה זו שגויה. הסבירו איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
מצאו את הערך המקסימלי של 2+3cosθ+4sinθ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הערך המקסימלי של הקוסינוס הוא 1, ולכן 2+5=7.
המשרעת של a cosθ+b sinθ היא תמיד |a|+|b|. (אין זה נכון)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
arctan(b/a) פשוט עלול לבחור את הרביע הלא נכון ולכשל כאשר a=0. יש להתאים את שני המקדמים של סינוס וקוסינוס. המשרעת היא √(a²+b²), ולא |a|+|b|. אין לטפל בערך הראשי של הקוסינוס ההפוך כפתרון היחיד. יחידת המוד (זווית) חייבת להתאים לתחום המצוין.
פרשן מצב חדש
- פתחו את R cos(θ−α) או R sin(θ+β) שביקשתם כדי לאמת כל מקדם וכל סימן. למשוואות, השוו תחילה את המטרה לתחום, יצרו את שני ענפי המופע והעבירו כל אחד בהזזות מלאות לתחום המקורי. בקצה התחום העליון או התחתון, שני הענפים חופפים (למודולו 2π).
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
מצאו את הערך המינימלי שלו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הערך המינימלי של הקוסינוס הוא −1, ולכן 2−5=−3.
התאם כל גודל בצורת עזר להגדרה שלו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
arctan רגיל (b/a) עשוי לבחור את המרובע הלא נכון; התאמת שני המקדמים מקבעת את α, ואילו צד ימין העובר את ±R מצביע על אי-קיום פתרון.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · E. התאימו רמת מטרה ומפרט לפני הקצאת הרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
הגודל האי-שלילי של תנודה סביב קו המרכז שלה. בחרו את הקשר, הראו את השיטה, בדקו את ההנחות וערכו את התוצאה.