Double-angle identities, quadrant signs and squared forms
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| double angle/ˈdʌbl ˈæŋɡl/ | זווית כפולה |
הכפלת זווית גלגל יכולה להזיז את נקודתה לרביע אחר. אילו סימנים נשארים מחושבים?
- הכפלת זווית גלגל יכולה להזיז את נקודתה לרביע אחר. אילו סימנים נשארים מחושבים?
- שיעור זה חוקר זווית כפולה: זווית השווה למקסימום של הזווית המקורית.
בחר את המבנה המתמטי
- הצבת B=A=θ בנוסחאות השילוב: sin2θ=2sinθ cosθ; cos2θ=cos²θ−sin²θ=1−2sin²θ=2cos²θ−1. כאשר tanθ ו-tan2θ קיימים, tan2θ=2tanθ/(1−tan²θ). סידוד מחדש נותן sin²θ=(1−cos2θ)/2 ו-cos²θ=(1+cos2θ)/2. זהויות אלו תלויות בזווית המלאה 2θ, ולא בהעלאת הפונקציה לריבוע.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
With cos θ=-3/5 in quadrant II, why is sin θ=+4/5 rather than -4/5?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A squared identity yields only the magnitude. The stated quadrant fixes the sign: sine is positive in quadrant II, so sin θ=+4/5 and sin2θ=2(4/5)(-3/5)=-24/25.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
אם cosθ=−3/5 ו-θ נמצא במרובע השני, אז sinθ=+4/5. מכאן sin2θ=2(4/5)(−3/5)=−24/25 ו-cos2θ=9/25−16/25=−7/25. שניהם שליליים, ולכן הזווית הכפולה נמצאת במרובע השלישי (למודולו סיבוב מלא); tan2θ=24/7. נוסחת הטנגנס נותנת אותו תוצאה מהtanθ=−4/3. גזרו את sin²θ מתוך cos2θ: [1−(−7/25)]/2=16/25. ב-θ=π/4, נוסחות הזווית הכפולה לסין/קוסינוס עדיין תקפות, אך tan2θ אינו מוגדר. ב-θ=π/2, tanθ אינו מוגדר בעוד tan2θ=0; השתמשו בסין/קוסינוס במקום יחס הטנגנס.
Double-angle identities, quadrant signs and squared forms
Set B=A=θ in the compound formulas: sin2θ=2sinθ cosθ; cos2θ=cos²θ−sin²θ=1−2sin²θ=2cos²θ−1
Explain how the angle formula follows from the geometric or coefficient conditions.
For the worked quadrant-II angle, find sin2θ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2sinθcosθ=2×(4/5)×(−3/5)=−24/25=−0.96.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- sin2θ פירושו sin(2θ); sin²θ פירושו (sinθ)². ערך רבועי נותן גדלות אך לא סימן; השתמשו במרובע הנדרש לפני ביצוע שורש. לעולם אל תסקרו את מרובע הזווית הכפולה מהמרובע המקורי ללא בדיקת סימנים. זהויות מצומצמות אינן מבטלות את אי-ההגדרות המקוריות של הטנגנס.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
הפונקציות sin2θ ו-sin²θ קובעות אותה ערך לכל זווית. טענה זו שגויה. הסבירו איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
Find cos2θ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cos²θ−sin²θ=9/25−16/25=−7/25=−0.28.
The functions sin2θ and sin²θ have the same value for every angle.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sin2θ means sin(2θ); sin²θ means (sinθ)². A squared value gives a magnitude but not a sign; use the stated quadrant before taking a root. Never infer the doubled angle’s quadrant from the original one without checking signs. Simplified identities do not remove the original tangent exclusions.
פרשן מצב חדש
- בחרו בצורת הקוסינוס התואמת לכמות הידועה: 2cos²θ−1 כאשר נתון קוסינוס, או 1−2sin²θ כאשר נתון סין. השתמשו בצורות הרבועיות להחליף ריבוע טריגונומטרי בקבוע ובאיבר זווית כפולה. אמתו סימן שנגזר מול מעגל היחידה ושמרו על שברים מדויקים עד לבקשה לערך עשרוני.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
Find tan2θ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Divide sine by cosine: (−24/25)/(−7/25)=24/7.
Match each double-angle form to its expression.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sin2θ means sin(2θ), never (sin θ)²; the rearranged squared forms trade a square for a double angle in integrations and proofs.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · E. התאימו רמת מטרה ומפרט לפני הקצאת הרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
זווית השווה לשתיים מהזווית המקורית. בחרו את הקשר, הראו את השיטה, בדקו את ההנחות וערכו את התוצאה.