Compound-angle formulae and geometric proofs
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| compound angle/ˈkɒmpaʊnd ˈæŋɡl/ | זווית מורכבת |
שתי נקודות בעלות רדיוס יחיד מגדירות מיתר. האם אורכו יכול להסביר מדוע קוסין של הפרש אינו הפרש של שני קוסיינים?
- שתי נקודות בעלות רדיוס יחיד מגדירות מיתר. האם אורכו יכול להסביר מדוע קוסין של הפרש אינו הפרש של שני קוסיינים?
- שיעור זה חוקר זווית מורכבת: זווית המתבטאת כסכום או הפרש של שתי זוויות.
בחר את המבנה המתמטי
- sin(A±B)=sinA cosB±cosA sinB. cos(A±B)=cosA cosB∓sinA sinB: סימן הקוסין משתנה. tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanA tanB) כאשר הטנגנטים והמכנה מוגדרים. גזור טנג'נט על ידי חילוק בנוסחאות הסاین והקוסין המתאימות; אל תרחיב מנה דרך מכנה אפס.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
Why is cos(A+B)=cosA cosB - sinA sinB while sin(A+B) carries a plus?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Check with A=B=45°: cos 90°=0 and cosAcosB-sinAsinB=1/2-1/2=0, while a plus would give 1. The cosine sign reversal is exactly what the compound geometry produces.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
נתון P=(cosA,sinA) ו-Q=(cosB,sinB) על המעגל היחיד. מרחק קואורדינטות נותן PQ²=2−2(cosA cosB+sinA sinB). חוק הקוסינוסים על שני רדיוסים יחידים נותן PQ²=2−2cos(A−B), ולכן נוסחת ההפרש לקוסינוס. החלף את B ב-−B, תוך שימוש בעובדה שקוסינוס פונקציה זוגית וסינוס פונקציה אי-זוגית, כדי לקבל נוסחת הסכום לקוסינוס. השתמש בנוסחת ההפרש לקוסינוס עבור (π/2−A) ו-B כדי לקבל sin(A+B); לאחר מכן שנה את סימן B כדי לקבל הופעת ההפרש לסינוס. הערכות מדויקות: sin75°=sin(45°+30°)=(√6+√2)/4; cos75°=(√6−√2)/4; sin15°=(√6−√2)/4, cos15°=(√6+√2)/4 ו-tan15°=2−√3.
Compound-angle formulae and geometric proofs
sin(A±B)=sinA cosB±cosA sinB
Explain how the angle formula follows from the geometric or coefficient conditions.
Find sin(π/12) as a decimal.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Use sin(π/4−π/6)=(√6−√2)/4≈0.258819.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- sin(A+B) אינו שווה ל-sinA+sinB. חוק הקוסינוס משתמש בזווית הסגורה הקטנה כשהנדרש, אך הקוסינוס שלו עדיין הוא cos(A−B). מרחק קואורדינטות והזהויות הנובעות מהן תקפות לכל הזוויות הממוסות; הדיאגרמה ההתחלתית היא מקרה דוגמא אחד. tan(45°+45°) אינו מוגדל כי 1−tan45°tan45°=0.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
קוסין של סכום תמיד שווה לסכום של שני ערכי הקוסין. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
Find cos(π/12) as a decimal.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Use cos(π/4−π/6)=(√6+√2)/4≈0.965926.
Cosine of a sum always equals the sum of the two cosine values.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sin(A+B) is not sinA+sinB. The cosine rule chord uses the smaller included angle when necessary, but its cosine is still cos(A−B). Coordinate distance and the resulting identities hold for all signed angles; the initial diagram is one illustrative case. tan(45°+45°) is undefined because 1−tan45°tan45°=0.
פרשן מצב חדש
- בחר בזוויות מוכרות שהסכום או ההפרש שלהן הוא המטרה. שמור על שורשים מדויקים והשכל את מנת הטנג'נט אם נדרש. בהוכחה גיאומטרית, ציין שני ביטויים עבור אותו מיתר ולא הנח את הזהות הרצויה. בדוק את המכנה לפני השימוש בנוסחת חיבור/חיסור טנג'נט.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
Find tan(π/12) as a decimal.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Use tan(π/4−π/6)=2−√3≈0.267949.
Match each exact value to its compound-angle computation.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The special-triangle values feed the compound formulas to produce exact values at 15° and 75° without a calculator.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · E. התאימו רמת מטרה ומפרט לפני הקצאת הרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
זווית המבטאת כסכום או הפרש של שתי זוויות. בחרו את הקשר, הציגו את השיטה, בדקו את התנאים ופרשו את התוצאה.