Reciprocal identities and one-sided proof chains
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| identity/aɪˈdentɪti/ | זהות |
שתי נוסחאות מסכימות בזווית אחת. האם הדבר מוכיח שהן מסכימות לכל זווית בהן הן מוגדרות?
- שתי נוסחאות מסכימות בזווית אחת. האם הדבר מוכיח שהן מסכימות לכל זווית בהן הן מוגדרות?
- שיעור זה לומד זהות: שוויון נכון לכל כניסה בתחום המשותף המפורש שלה.
בחר את המבנה המתמטי
- משוואת מעגל היחידה נותנת sin²θ+cos²θ=1. חלקו ב-cos²θ כאשר cosθ≠0 כדי לקבל tan²θ+1=sec²θ. חלקו ב-sin²θ כאשר sinθ≠0 כדי לקבל 1+cot²θ=cosec²θ. רשמו אילוצים לפני ביטול או חלוקה. הוכחה מתחילה מצד אחד ומגיעה לצד השני דרך שוויונות תקפים; בדיקות מספריות לבדן אינן הוכחה.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
Why is checking tan²θ-sin²θ=tan²θsin²θ at θ=π/4 not a proof?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
An identity claims equality at EVERY allowed input. The proof chains valid equalities from one side to the other: sin²θ(1/cos²θ-1)=sin⁴θ/cos²θ=tan²θsin²θ, with exclusions recorded.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
הוכיחו tan²θ−sin²θ=tan²θ sin²θ עבור cosθ≠0. הצד השמאלי הוא sin²θ(1/cos²θ−1)=sin²θ(1−cos²θ)/cos²θ=sin⁴θ/cos²θ=tan²θ sin²θ. אין צורך בחלוקה ב-sinθ, ולכן sinθ=0 נותר מותר. עבור sinθ≠0, (1−cosθ)/sinθ הופך ל-(1−cosθ)(1+cosθ)/[sinθ(1+cosθ)]=sin²θ/[sinθ(1+cosθ)]=sinθ/(1+cosθ). האילוצ המפורש גורם גם ל-1+cosθ להיות אינו אפס. אם secθ=2 עם θ חדה, tan²θ=4−1=3, cosθ=1/2, sin²θ=3/4, cosec²θ=4/3 ו-cot²θ=1/3.
Reciprocal identities and one-sided proof chains
The unit-circle equation gives sin²θ+cos²θ=1
Explain which denominator or branch restriction makes each step valid.
If secθ=2 and θ is acute, find tan²θ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
tan²θ=sec²θ−1=4−1=3.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- הוכחת זהות אינה אומרת להניח שהצדדים שווים ולעבד הנחה זו ללא הצדקה. זהות מרובעת אינה קובעת את סימן הפונקציה: הרביע עושה זאת. הביטוי האחרון sinθ/(1+cosθ) מוגדר ב-θ=0, אך המקורי (1−cosθ)/sinθ לא; פישוט אינו מתקן את תחום ההגדרה המקורי.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
בדיקת זהות מוצעת בזווית אחת אינה מוכיחה אותה לכל הזוויות המותרות. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
Find cosec²θ for that angle.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sin²θ=1−cos²θ=3/4; its reciprocal is 4/3.
Checking a proposed identity at one angle proves it for all allowed angles.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Proving an identity does not mean assuming both sides equal and manipulating that assumption without justification. A squared identity does not fix a function’s sign: the quadrant does. The last expression sinθ/(1+cosθ) is defined at θ=0, but the original (1−cosθ)/sinθ is not; simplification does not repair the original domain.
פרשן מצב חדש
- בחר בצד המורכב יותר, החלף פונקציות נפסרות לסاین/קוסין, השתמש במכנה משותף והפעל sin²+cos²=1. הער על כל גורם שנמחק. כדי להפריך זהות מוצעת, דוגמה נגדית אחת מספקת; כדי להוכיח אותה, הסבר מדוע השרשרת עובדת לכל הזוויות בתחום המשותף.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
Find cot²θ for that angle.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cot²θ=cosec²θ−1=4/3−1=1/3.
Match each derived identity to its source.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Simplification never repairs the original domain: a step valid only where sinθ≠0 leaves θ=0 excluded from the original statement.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · E. התאימו רמת מטרה ומפרט לפני הקצאת הרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
שוויון נכון לכל קלט בתחום המשותף המפורט שלו. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.