ענפים טריגונומטריים הפוכים וערכים ראשיים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| principal value/ˈprɪnsɪpl ˈvæljuː/ | ערך ראשי |
יחס גובה נותן מספר רב של זוויות גלגל אפשריות. כיצד מחשבון בוחר רק אחת מהן?
- יחס גובה נותן מספר רב של זוויות גלגל אפשריות. כיצד מחשבון בוחר רק אחת מהן?
- שיעור זה לומד ערך ראשי: הפלט ההפוך היחיד שנבחר מתוך מרווח מוגבל נתון.
בחר את המבנה המתמטי
- הגבילו את הסינוס ל-[−π/2,π/2] כדי להגדיר את ארכסינוס עם תחום [−1,1] ותחום ערכים [−π/2,π/2]. הגבילו את הקוסינוס ל-[0,π] עבור ארכקוסינוס, עם תחום [−1,1] ותחום ערכים [0,π]. הגבילו את הטנגנס ל-(−π/2,π/2) עבור ארקטנגנס, עם כל כניסה ממשפטית ותחום ערכים (−π/2,π/2). גרפים הפוכים אלו משקפים את הגרפים הבסיסיים המוגבלים ביחס y=x.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
למה arcsin(sin(5π/6)) שווה ל-π/6 ולא ל-5π/6?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הסינוס מוגבל לתחום [-π/2, π/2] כדי להיות פונקציה חד-חד-ערכית; הפונקציה ההפוכה יכולה להחזיר ערכים רק מתוך תחום זה. הזווית המקורית משוחזרת רק כאשר היא נמצאת כבר בתחום המוגבל.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
arcsin(1/2)=π/6, arccos(−1/2)=2π/3 ו-arctan(−1)=−π/4. למרות ש-sin(5π/6)=1/2, arcsin(sin(5π/6))=π/6, ולא 5π/6. באופן דומה arccos(cos(4π/3))=2π/3 ו-arctan(tan(3π/4))=−π/4. עבור sin x=1/2 ב-[0,2π), הערך הראשי α=π/6 מייצר גם α וגם π−α=5π/6. עבור cos x=−1/2 הפתרונות הם 2π/3 ו-4π/3; טנגנס חוזר על הערך הראשי לאחר π.
ענפים טריגונומטריים הפוכים וערכים ראשיים
הגבילו את הסינוס ל-[−π/2,π/2] כדי להגדיר arcsin עם תחום פעולה [−1,1] וטווח ערכים [−π/2,π/2]
הסבירו איזה מכנה או הגבלת עניקה הופך כל צעד לתקף.
כתבו arcsin(1/2)=kπ. מצאו את k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הזווית הסינוס הראשית היא π/6, ולכן k=1/6.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- sin(arcsin u)=u רק עבור −1≤u≤1; arcsin(sin x)=x רק על ענף הסינוס המוגבל. Arccos יורד, ולכן arccos(−1)=π ו-arccos(1)=0. Arctan שואף ל-±π/2 כאשר הגודל של הקלט גדל אך לעולם לא מגיע לגבולות הללו. ערך ראשי לבדו אינו מהווה ערכה מלאה של קבוצת הפתרונות.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
החלת ארכסינוס לאחר סינוס מחזירה את הזווית המקורית לכל זווית ממשפטית. טענה זו שגויה. הסבירו איזה הגדרה או הנחה היא מפגרת.
כתבו arccos(−1/2)=kπ. מצאו את k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הקוסינוס הוא −1/2 ב-2π/3 בטווח [0,π], ולכן k=2/3.
יישום סינוס הפוך אחרי סינוס מחזיר את הזווית המקורית לכל זווית ממערכת המספרים הממשיים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sin(arcsin u)=u רק עבור −1≤u≤1; arcsin(sin x)=x רק על ענף הסינוס המוגבל. Arccos היא פונקציה יורדת, ולכן arccos(−1)=π ו-arccos(1)=0. Arctan שואפת ל±π/2 כשהקלט גדל בערכו המוחלט אך לעולם לא מגיע לגבולות הללו. ערך ראשי בודד אינו מהווה סט פתרונות מלא.
פרשן מצב חדש
- סמנו קצוות תחום ותחומי ערכים לפני הרכבת פונקציות. בגרפים ההפוכים ארכסינוס נע from (−1,−π/2) עד (1,π/2), ארכקוסינוס מ-(−1,π) עד (1,0), וארקטנגנס עובר דרך (0,0) בין אסימפטוטות אופקיות. שמרו על תשובות ברדיאנים אלא אם כן מבוקשת מעלות, ובדקו כל מועמד למשוואה בתחום המקורי.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
כתבו arctan(−1)=kπ. מצאו את k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הטנגנס הוא −1 ב-−π/4 בטווח (−π/2,π/2), ולכן k=−1/4.
התאם כל פונקציה הפוכה לתחום המוגבל שלה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
כל תחום נבחר כך שהפונקציה המקורית תהיה חד-חד-ערכית; ערך ראשי יוצר לאחר מכן את קבוצת הפתרונות המלאה באמצעות סימטריה ותקופיות.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · E. התאימו רמת מטרה ומפרט לפני הקצאת הרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
הפלט ההפוך היחיד שנבחר מתוך מרווח מוגבל נתון. בחרו את הקשר, הראו את השיטה, בדקו את ההנחות ומתגו את התוצאה.