פונקציות טריגונומטריות הפוכות וזוויות שאינן מוגדרות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | סיקנט |
נוסחה מחלקת בקואורדינטה האופקית של נקודה מסתובבת. מה קורה כשהקואורדינטה הזו שואפת לאפס?
- נוסחה מחלקת בקואורדינטה האופקית של נקודה מסתובבת. מה קורה כשהקואורדינטה הזו שואפת לאפס?
- שיעור זה עוסק בסקנט: ההופך לקוסינוס בכל מקום בו הקוסינוס אינו אפס.
בחר את המבנה המתמטי
- secθ=1/cosθ ו-cosecθ=1/sinθ. מגדירים cotθ=cosθ/sinθ, כך שהוא קיים כאשר sinθ≠0. הפונקציה secant אינה מוגדרת ב-θ=π/2+kπ; הפונקציות cosecant ו-cotangent אינן מוגדרות ב-θ=kπ, כאשר k שלם. לsecant ו-cosec תקופה של 2π ותחום ערכים (−∞,−1]∪[1,∞). לcotan תקופה של π וכל ערך ממשי אפשרי. secan היא פונקציה זוגית; cosec ו-cotan הן פונקציות איזוגיות.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
מדוע cot(π/2)=0 בעוד ש-tan(π/2) לא מוגדר?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הגדרת קוטנגנס כ-cos/sin במקום 1/tan שומרת על התוקף בדיוק באותם מקומות בהם הטנגנס נכשל. ב-π/2, cos=0 מבטל את הטנגנס אך נותן cot=0/1=0.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור θ=2π/3, cosθ=−1/2 ו-sinθ=√3/2, ולכן secθ=−2, cosecθ=2√3/3 ו-cotθ=−√3/3. עבור θ=π/2, cotθ=0/1=0 ו-cosecθ=1, אך secθ אינו מוגדר. צייר את ענפי ה-secant מחוץ לרצועה −1<y<1: y=1 ב-0, y=−1 ב-π, עם אסימפטוטות אנכיות ב-π/2 ו-3π/2. Cosecant מגיע ל-1 ב-π/2 ו-−1 ב-3π/2, עם אסימפטוטות ב-0, π ו-2π. Cotangent יורדת מערך חיובי לאינסוף שלילי על (0,π), חוצה אפס ב-π/2; חזור לאחר π.
פונקציות טריגונומטריות הפוכות וזוויות שאינן מוגדרות
secθ=1/cosθ ו-cosecθ=1/sinθ
הסבירו איזה מכנה או הגבלת עניקה הופך כל צעד לתקף.
מצאו את sec(2π/3).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cos(2π/3)=−1/2, ולכן ההפוך שלו הוא −2.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- cotθ=1/tanθ שימושי רק כאשר שתי הביטויים קיימים ו-tanθ≠0. הוא אינו יכול להגדיר את cot(π/2), משום ש-tan(π/2) אינו מוגדר בעוד ש-cot(π/2)=0. המעריך −1 ב-sin⁻¹ מצין לעיתים קרובות את הסינוס ההפוך, ולא את ההפוך; כתוב cosecθ כאשר מתכוונים ל-1/sinθ.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
קוטנגנט אינו מוגדר בכל זווית שבה הטנגנט אינו מוגדר. טענה זו שגויה. הסבר האם ההגדרה או ההנחה מהם היא העוברת על כך.
מצאו את cot(π/2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cot(π/2)=cos(π/2)/sin(π/2)=0/1=0.
קוטנג'נט אינו מוגדר בכל זווית שבה טנג'נט אינו מוגדר.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
cotθ=1/tanθ ניתן לשימוש רק כאשר שני הביטויים קיימים ו-tanθ≠0. הוא אינו מגדיר את cot(π/2), משום ש-tan(π/2) אינו מוגדר בעוד ש-cot(π/2)=0. המעריך −1 ב-sin⁻¹ מצוין לעיתים כקוטב הסינום (inverse sine), ולא כהופך; כתוב cosecθ כאשר התכוונת ל1/sinθ.
פרשן מצב חדש
- שרטטו תחילה אפסיות בסיס של סינוס/קוסינוס: אלו ממוקמות את האסימפטוטות ההופכות. ערכים 1 ו-−1 אינם משתנים בעת קבלת הופכה. חלקו את התחום בכל זווית שאינה מוגדרת ואין לחבר לעולם ענפים דרך אסימפטוטה. ציינו את תחום הפונקציה לפני פישוט משוואה המכילה במכנה.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
מצאו את cosec(π/2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cosec(π/2)=1/sin(π/2)=1.
התאם כל פונקציית הפוך למשולשים האסורים שלה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
כל פונקציית הפוך מורשת את התחום מהאפסים של המכנה שלה; |sec| ו-|cosec| לעולם לא יורדים מתחת ל-1.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · E. התאימו רמת מטרה ומפרט לפני הקצאת הרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
ההופכה של קוסינוס בכל מקום בו קוסינוס אינו אפס. בחרו את הקשר, הראו את השיטה, בדקו את ההנחות ומתגו את התוצאה.