Small-angle approximations and their limits
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| approximation/əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | קרוב |
סיבוב קטן מזיז מחוג כמעט לצד. מתי החלפת פונקציה טריגונומטרית בזווית עצמה היא מדויקת מספיק?
- סיבוב קטן מזיז מחוג כמעט לצד. מתי החלפת פונקציה טריגונומטרית בזווית עצמה היא מדויקת מספיק?
- שיעור זה עוסק בקירוב: ערך פשוט קרוב המשמש עם גבול דיוק מצוין.
בחר את המבנה המתמטי
- כאשר θ קרובה לאפס ומודדת ברדיאנים, sinθ≈θ, tanθ≈θ ו-cosθ≈1−θ²/2. אלו הם קירובים, לא זהויות. האיברים של Sin/Tan שנזרקו מתחילים בסדר θ³; האיבר של Cos שנזרק מתחיל בסדר θ⁴. זווית מוחלטת קטנה יותר משפרת בדרך כלל קירובים מקומיים אלו.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
Why does sin θ≈θ fail for an angle entered in degrees?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The small-angle limits come from radian geometry, where arc equals radius times angle. In degrees every value shrinks by π/180, so writing sin 1°≈1 is wrong by a factor of about 57.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור θ=0.1 רדיאנים, sinθ≈0.1 (ערך אמיתי 0.0998334), tanθ≈0.1 (ערך אמיתי 0.100335) ו-cosθ≈0.995 (ערך אמיתי 0.995004). שגיאות מוחלטות הן בערך 0.000167, 0.000335 ו-0.00000417. עבור 6(1−cos x)=0.03, קרוב 1−cos x ל-x²/2: 3x²≈0.03, ולכן x≈±0.1 רדיאנים. בדוק את הנחת הזווית הקטנה לאחר הפתרון; הצבה ב-x=0.1 נותנת 0.0299750 במקום בדיוק 0.03. כמו כן, sin(2x)/x≈2 עבור x קטן ולא אפס, בעוד ש1−cos(2x)≈2x².
Small-angle approximations and their limits
When θ is close to zero and measured in radians, sinθ≈θ, tanθ≈θ and cosθ≈1−θ²/2
Explain each condition before using the corresponding trigonometric formula.
Using the small-angle formula, approximate sin(0.2 radians).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sinθ≈θ, with θ=0.2 radians.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- מעלות אינן עובדות בנוסחות אלו: sin(1°)≈π/180, לא 1. כתבו ≈ ולא =. חיסור יכול להפוך שגיאה יחסית לחשובה יותר; שמרו על איבר θ² ב-1−cosθ. יחס ב-θ=0 עשוי להיות מוגדר אך הגבול הקרוב לו קיים.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
הנוסחה sinθ≈θ תקפה同样 עבור זווית שהוזנת במעלות. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא פוגעת בה.
Approximate cos(0.2 radians).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1−0.2²/2=0.98.
The formula sinθ≈θ is equally valid for an angle entered in degrees.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Degrees do not work in these formulas: sin(1°)≈π/180, not 1. Write ≈ rather than =. Subtraction can make relative error more important; preserve the θ² term in 1−cosθ. A ratio at θ=0 may be undefined even when its nearby limit exists.
פרשן מצב חדש
- ממירו תחילה לרדיאנים והגדירו את הארגומנט של כל פונקציה טריגונומטרית: sin(3x)≈3x, לא x. עבור דגם, השווו את שגיאת הקירוב עם הדיוק הנדרש. אם הפתרון אינו קטן, השתמשו במשוואה הטריגונומטרית המקורית; לנוסחות אלו אין סף דיוק אוניברסלי.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
Give the positive approximate solution of 6(1−cos x)=0.03 in radians.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3x²≈0.03 gives x²≈0.01, so the positive root is 0.1.
Match each small-angle approximation to its first discarded term.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
These are approximations with accuracy limits - write ≈, keep θ in radians, and preserve the θ² term where subtraction would cancel the 1.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · E. התאימו רמת מטרה ומפרט לפני הקצאת הרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
ערך פשוט קרוב המשמש עם גבול דיוק מצוין. בחרו את הקשר, הראו את השיטה, בדקו את ההנחות ופרשו את התוצאה.