סכמים גיאומטריים, יחסים מתחלפים והתכנסות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | יחס משותף |
תשלומים מתחלפים יכולים להציג סכום מצטבר יציב. מדוע יחס שלילי אינו מונע במובן אוטומטי התכנסות?
- תשלומים מתחלפים יכולים להציג סכום מצטבר יציב. מדוע יחס שלילי אינו מונע במובן אוטומטי התכנסות?
- שיעור זה עוסק ב-יחס גיאומטרי: המקדם הקבוע שמכפיל כל איבר כדי לקבל את הבא.
בחר את המבנה המתמטי
- עבור האיבר הראשון a והיחס r השונה מאפס, מתקיים u_n=ar^(n−1). אם r=0, האיברים הם a,0,0,…, ובכך נמנעים מביטוי 0^0 באיבר הראשון. עבור r≠1, הסכום הסופי הוא S_n=a(1−r^n)/(1−r); עבור r=1 הוא na. עבור a השונה מאפס, קיים סכום גיאומטרי אינסופי כאשר |r|<1 וערכו הוא a/(1−r). יחס שלילי מעניק סימונים מתחלפים; ההתכנסות תלויה בגודלו ולא בסימן בלבד.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
מדוע הסדרה עם a=6, r=-1/2 מתכנסת למרות סימנים מתחלפים?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רק גודל היחס קובע: |r|=1/2<1, ולכן האיברים שואפים לאפס והסכום הוא 6/(1+1/2)=4. הסימן פשוט גורם לסכומים חלקיים להתחלף מעל ומתחת ל4.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור a=6 ו-r=−1/2, האיברים הם 6,−3,3/2,−3/4,… . סכום ארבעת האיברים הראשונים הוא 15/4=3.75. הנוסחה הסופית נותנת S₄=6[1−(−1/2)^4]/(1+1/2)=15/4. מכיוון ש-|r|=1/2<1, S infinity=6/(1+1/2)=4. The signed remainder is 4−S_n=4(−1/2)^n, so odd partial sums are above 4 and even partial sums below 4. For error below 0.01, require 4/2^n<0.01. At n=8 the error is 1/64>0.01; ב-n=9 הערך הוא 1/128<0.01, ולכן 9 איברים הם הראשונים העונים לתנאי.
סכמים גיאומטריים, יחסים מתחלפים והתכנסות
עבור האיבר הראשון a והיחס r שאינו אפס, u_n=ar^(n−1)
בדוק אילו נוסחאות סדרה עונות לשאלה האם התנאים שלה מתקיימים.
מצא את u₃ עבור a=6 ו-r=−1/2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₃=6(−1/2)²=6/4=1.5.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- אין להחליף r=−1/2 ב-r=1/2 בנוסחה הסופית: פרטי n (זוגיות/אי-זוגיות) חשובים. נוסחת הסכום האינסופי אינה חוקית עבור r=1 או r=−1 כאשר a שונה מאפס; האיברים שלהם אינם שואפים לאפס. סכום סופי יכול להתקיים גם כאשר המשכה אינסופית שלו מתפרקת.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
כל סדרה גיאומטרית עם יחס שלילי מתפרקת. טענה זו שגויה. הסבר איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
מצא את סך ארבעת האיברים הראשונים שלו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
6−3+3/2−3/4=15/4=3.75.
כל סדרה גיאומטרית עם יחס שלילי היא מבוזרת.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אל תחליף את r=−1/2 ב-r=1/2 בנוסחה הסופית: פרטי n חשובים. נוסחת הסכום האינסופי אינה מוצדקת עבור r=1 או r=−1 כאשר a אינו אפס; האיברים שלהם לא שואפים לאפס. סכום סופי יכול להתקיים גם כאשר המשך אינסופי שלו מתבדר.
פרשן מצב חדש
- בדוק את מספר האיברים הראשונים והסכומים החלקיים ישירות לפני שימוש בנוסחה. אם |r|>1 ו-a שונה מאפס, גדלים גדולי האיברים במקום שהם יתבוללו. ב-r=−1, הסכומים החלקיים מתחלפים בין a ל-0 במקום להתקרב לערך אחד. הרצף אפס a=0 הוא יוצא דופן פשוט; זיהה אותו במקום להשתמש בטענת התכנסות עבור איבר ראשון שונה מאפס.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
מצא את הסך האינסופי שלו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מכיוון ש-|r|<1, הסך האינסופי הוא 6/(1+1/2)=4.
התאם כל כמות גיאומטרית לנוסחה שלה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
המעריך הוא n-1 מכיוון שהאיבר הראשון נושא r^0; הנוסחה לאינסוף אינה תקפה ב-r=±1 שבהם האיברים אינם צומצמים.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · D. התאם את הרמה היעודית והמפרט לפני שאתה מפיק הרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
המקדם הקבוע שמכפיל כל איבר כדי לקבל את הבא. בחר את הקשר, הצג את השיטה, בדוק את ההנחות ופרש את התוצאה.