Increasing, decreasing and periodic recurrences
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| periodic sequence/ˌpɪərɪˈɒdɪk ˈsiːkwəns/ | סדרה מחזורית |
אותו כלל עדכון יכול להגדיל ערך התחלתי אחד ולהקטין אחר. מה קובע את התנהגותו?
- אותו כלל עדכון יכול להגדיל ערך התחלתי אחד ולהקטין אחר. מה קובע את התנהגותו?
- שיעור זה עוסק ב-סדרה מחזורית: סדרה שבה האיברים חוזרים לאחר מספר צעדים חיובי קבוע.
בחר את המבנה המתמטי
- סדרה ריקורסיבית דורשת גם איבר התחלתי וגם כלל. חשבו כל איבר חדש מהקודם בו, שמרים על ערכים מדויקים כשזה מועיל. השווu_(n+1)−u_n ובדקו גבולות לפני שהצהרתם התנהגות עולה או יורדת. סדרה מחזורית חוזרת לאחר מספר צעדים קבוע; צעד החזרה החיובי הקטן ביותר שלה הוא המחזור שלה.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
For u next=u/2+3 starting at 1, why does the sequence increase toward 6 without passing it?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
While u_n<6, the update adds half the remaining gap, so terms rise and stay below 6. Starting above 6 the same rule decreases toward it: the fixed point attracts from both sides.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
עבור u₁=1 ו-u_(n+1)=u_n/2+3, האיברים הראשונים הם 1,7/2,19/4,43/8. הערך הקבוע פותר את L=L/2+3, ומניב L=6. אם u_n<6, the next term remains below 6 and u_(n+1)−u_n=(6−u_n)/2>0. לכן סדרה זו עולה לכיוון 6. התחלה מחדש ב-11 נותנת 11,17/2,29/4,…, יורדת תוך שמירה על ערך מעל 6. הצורה המדויקת היא u_n=6+(u₁−6)/2^(n−1). בנפרד, v₁=2 ו-v_(n+1)=6−v_n נותן 2,4,2,4,… עם מחזור 2 משום שיישום הכלל פעמיים מחזיר לאיבר המקורי. התחלה של הכלל השני ב-3 נותנת סדרה קבועה עם המחזור הקטן ביותר 1.
Increasing, decreasing and periodic recurrences
A recurrence needs an initial term as well as a rule
Check whether a sequence or sum argument preserves all its defining information.
For u₁=1 and u_(n+1)=u_n/2+3, find u₂.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₂=1/2+3=7/2=3.5.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- איברים מספריים מוקדמים מציעים התנהגות אך אינם מגיבים עליה לכל n. משוואת נקודה יציבה לבדה אינה מגיבה על התכנסות: העדכון חייב להמשיך לקרב אליה. ערכים מתחלפים אינם חייבים להיות מחזוריים; (−2)^n מתחלף סימן בעוד שגודלו גדל. ציינו האם “עולה” פירושו עולה ממש או רק לא יורד.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
כל סדרה ריקורסיבית עם ערך יציב חייבת להתכנס אליו מכל ערך התחלתי. טענה זו שגויה. הסבירו איזה הגדרה או הנחה היא מפרה.
Find u₃ for that sequence.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₃=(7/2)/2+3=19/4=4.75.
Every recurrence with a fixed value must converge to it from every starting value.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Early numerical terms suggest behaviour but do not prove it for every n. A fixed-point equation alone does not prove convergence: the update must keep approaching it. Alternating values need not be periodic; (−2)^n alternates in sign while its magnitude grows. State whether “increasing” means strictly increasing or merely nondecreasing.
פרשן מצב חדש
- ודאו את הצורה המפורשת על ידי הצבתה בסדרה הריקורסיבית ובדיקת האיבר ההתחלתי. המרחק מ-6 מצטמצם למחצה בכל עדכון, מה שמסביר התכנסות במثال זה. ערך התחלתי שונה משנה את הכיוון או נותן סדרה קבועה, אף על פי שנוסחת הסדרה הריקורסיבית נשארת אותה.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
Find the smallest period of 2,4,2,4,… .
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Two updates return to 2, while one gives 4; the smallest period is 2.
Match each recurrence behaviour to its test.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Behaviour claims need the difference or bound argument; a period is the SMALLEST positive repeat step.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · D. התאם את הרמה היעודית והמפרט לפני שאתה מפיק הרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
סדרה שבה האיברים חוזרים לאחר מספר צעדים חיובי קבוע. בחרו את הקשר, הראו את השיטה, בדקו את ההנחות ופרשמו את התוצאה.