Rational indices and real domains
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| rational exponent/ˈræʃənl ekˈspəʊnənt/ | מעריך רציונלי |
קובייה גדלה ל-27 פעם מהנפח המקורי שלה. מדוע אורך הקצה שלה גדל רק פי 3?
- קובייה גדלה ל-27 פעם מהנפח המקורי שלה. מדוע אורך הקצה שלה גדל רק פי 3?
- שיעור זה עוסק ב-מעריכים רציונליים: מעריך הכתוב כשבר של מספרים שלמים.
בחר את המבנה המתמטי
- עבור בסיס חיובי a, מתקיים a^(p/q) = השורש ה-qי של a מוגבה ל-p, כאשר q חיובי. מעריך שלילי נותן את ההופך, ולכן הבסיס חייב להיות אי-אפס. יש להקטין את השבר p/q תחילה. עבור בסיס ממשי שלילי, מכנה מקוצר אי-זוגי מאפשר שורש ממשי; מכנה זוגי לא מאפשר זאת.
- ציין את הקלט המותר והיחידות לפני החישוב. משוואה צריכה לבטא את הקשר, ולא רק לתעד כניסה למחשבון.
Why does x^(2/3)=4 have TWO real solutions while x^(1/2)=-2 has none?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
With u=∛x, u²=4 gives u=±2, hence x=±8 - both real because odd roots accept negatives. The square root is principal and nonnegative, so it can never equal -2.
עבור על מקרה שנבדק
- בדוק את התוצאה מול הכמויות ההתחלתיות. הצב את התוצאה במשוואה המקורית, או השוו את הגרף לתשובה המספרית כאשר מתאים.
27^(2/3)=(שורש קובי של 27)²=9, בעוד ש16^(−3/4)=1/(שורש רביעי של 16)³=1/8. עבור x^(2/3)=4 במספרים הממשיים, נתון u כשורש קובי של x: u²=4, ולכן u=±2 ו-x=±8. שתי הכניסות עוברות בדיקה. לעומת זאת, x^(1/2)=−2 אין לו פתרון ממשי כי השורש הראשי אינו שלילי. עבור בסיסים שליליים, (−8)^(1/3)=−2 ו-(−8)^(2/3)=4.
Rational indices and real domains
For a positive base a, a^(p/q) is the qth root of a raised to p, with q positive
Check the conditions behind each index or surd manipulation.
Evaluate 16^(−3/4).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The fourth root of 16 is 2; its cube is 8, then take the reciprocal.
בדיקת קיצור דרך מפתה
- אל תמיר מעריך שלילי לתוצאה שלילית. אל ת拋弃 פתרון שלילי כאשר שורש אי-זוגי מועלה בריבוע. פעולות מערכתי-מערכתי עשויות לכשל מחוץ לבסיסים חיוביים: ((−1)²)^(1/2)=1, בעוד ש(−1)^(2×1/2)=−1.
- כאשר קיצור דרך נכשל, זיהה את ההנחה שהוא מפר. שמור על ערך מדויק עד לעיגול הסופי המבוקש.
למשווא x^(2/3)=4 יש רק הפתרון x=8. טענה זו שגויה. הסבר האילוץ או ההנחה שהיא מפגינה.
Find the negative real solution of x^(2/3)=4.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Let u be the cube root of x. The negative root u=−2 gives x=−8.
The equation x^(2/3)=4 has only the solution x=8.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Do not change a negative exponent into a negative answer. Do not discard a negative solution when an odd root is squared. General power-of-a-power manipulations can fail outside positive bases: ((−1)²)^(1/2)=1, whereas (−1)^(2×1/2)=−1.
פרשן מצב חדש
- השתמש בגורם קנה מידה חיובי לאורכים ולנפחים: יחס נפחים 27 נותן יחס קצה 27^(1/3)=3 ויחס שטח 27^(2/3)=9. במשוואות, ציין את תחום הממשים והצב כל מועמד. אפס בחזקה שלילית אינו מוגדר; ערך זה אינו מייחס ערך ל0^0.
- פתרון מלא נותן את התוצאה המתמטית ומסביר את משמעותה. בדוק האם הדבר אפשרי בהקשר המפורש.
Evaluate (−8)^(2/3).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The real cube root of −8 is −2; its square is 4.
Match each rational exponent to its evaluation.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The denominator of a reduced fraction takes the root first; a negative exponent reciprocates; even denominators forbid negative bases in real work.
השתמש בזה בקורס שלך
- 7357 · A-level · B. התאם את רמת היעד והמפרט לפני שאתה מקצה הרחבות.
- תן את השיטה לפני התשובה הסופית, והשתמש בכללי המחשבון והנוסחות של המבחן. סקור תשובה שגויה על ידי מיקום השלב הראשון שאינו תקין.
מעריך הכתוב כשבר של מספרים שלמים. בחרו את הקשר, הצגו את השיטה, בדקו את ההנחות ועבדו את התוצאה.