שברים חלקיים עם גורמים ליניאריים שונים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| partial fraction/ˈpɑːʃl ˈfrækʃn/ | שבר חלקי |
Can one fraction become a sum of simpler fractions?
- A product of two linear denominators can hide two simpler contributions. Separating them makes later integration and equation work easier.
- This lesson studies partial fraction 部分分式: A simpler fraction in a sum that equals a rational expression on its original domain.
Choose the mathematical structure
- For proper rational expressions, use A/(x+a)+B/(x+b) for distinct linear factors. Clear the denominator to obtain a polynomial identity, then substitute convenient roots or compare coefficients. Divide first if the numerator degree is not smaller.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
לאחר ביטול מכנים ב-3x+5=A(x+2)+B(x+1), מדוע ניתן להציב x=-1 למרות שהשבר המקורי הוא חסר הגדרה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ביטול מכנים הופך משוואה רציונלית לזהות פולינומית התקפה לכל קלט, ולכן השורשים הנוחים x=-1 ו-x=-2 נותנים מיד A=2 ו-B=1. השבר המקורי עדיין חסר הגדרה עבור קלטות אלו.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For (3x+5)/[(x+1)(x+2)], write 3x+5=A(x+2)+B(x+1). At x=−1, A=2; at x=−2, B=1. Thus the decomposition is 2/(x+1)+1/(x+2), with x≠−1,−2. With three factors, (3x+1)/[x(x+1)(x+2)]=1/(2x)+2/(x+1)−5/[2(x+2)]. Clearing denominators and using x=0,−1,−2 gives A=1/2, B=2, C=−5/2.
שברים חלקיים עם גורמים ליניאריים שונים
עבור ביטויים רציונליים תואמים, השתמש ב-A/(x+a)+B/(x+b) עבור גורמים ליניאריים נפרדים
סווג את השלבים האלגבריים וזהה את הזהות או תנאי התחום המונחים מאחורי כל החלטה.
עבור (3x+5)/[(x+1)(x+2)], מצא את A ב-A/(x+1)+B/(x+2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
בערך x=−1 במשוואה המנוקה, 2=A.
Test a tempting shortcut
- The roots used after clearing denominators are allowed in the resulting polynomial identity, not in the original fraction. Retain all excluded inputs. A coefficient can be negative or zero.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Once denominators are cleared, their excluded inputs become valid inputs of the original fraction. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
מצאו את B בפירוק זהה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
בערך x=−2 במשוואה המנוקה, −1=−B, ולכן B=1.
לאחר ביטול המכנים, הקלטים המוסרים שלהם הופכים לקלטים תקפים בשבר המקורי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
השורשים ששימשו לאחר ביטול המכנים מותרים במזהה הפולינומי הנובע, אך לא בשבר המקורי. יש לשמור על כל הקלטים המוסרים. מקדם יכול להיות שלילי או אפס.
Interpret a new situation
- Check by recombining all terms and comparing coefficients, not just one numerical input. In 7357, numerators here are constant or linear and the decomposition has no more than three terms.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
מצאו את מקדם ה-1/x עבור (3x+1)/[x(x+1)(x+2)].
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
בערך x=0 במזהות המכפלת שני הגורמים, 1=2A, ולכן A=1/2.
התאם כל שלב בפירוק לשברים חלקיים למטרתו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
חלק תחילה אם השבר הוא לא ראשוני; הפירוק שווה למקור בכל תחום ההגדרה המקורי שלו, כולל השללות.
Use this in your course
- 7357 · A-level · B. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A simpler fraction in a sum that equals a rational expression on its original domain. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.