חיבור הגבולות באינסוף ואסימפטוטות אופקיות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | התנהגות קיצונית |
| limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/ | גבולות באינסוף |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה אופקית |
הזoom out: מה קורה הרחק?
- במקום $x\to c$, כעת נניח ש-$x$ מתרחק ל-$+\infty$ או ל-$-\infty$.
- תיאור זה מתייחס ל-התנהגות בקצה של הפונקציה — הצורה שלה בשמאל הרחוק ובימין הרחוק.
- אנו כותבים $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$: כאשר $x$ גדל מאד, $f$ מתכנס לכיוון $L$.
- אלו גבולות באינפיניטי, והן חושפות מגמות אופקיות.
מרוץ ההערכות הגבוהות ביותר
- עבור פונקציה רציונלית, התנהגות בקצה היא מרוץ בין הדרגות של המונה למכנה.
- המכנה מנצח (דרגת מכנה גבוהה יותר): $f\to0$. דוגמה $\dfrac{x}{x^2+1}\to0$.
- תיקו (דרגות שוות): $f\to$ הוא יחס המקדמים הבולטים. דוגמה $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}\to3$.
- המונה מנצח (דרגת מונה גבוהה יותר): $f\to\pm\infty$ — אין אסימפטורה אופקית (הפונקציה גדלה).
עקומה שמחליקה הרחק למרחק
y = a / (x − b) + d
החליקו את $x$ לכיוון הקצוות — עקומה מסוג הופכי מחליקה למישור ככל שה-$x\to\pm\infty$ מתקרבת לאסימפטוטה אופקית.
מהו $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^2+1}$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
דרגת המכנה גבוהה יותר, ולכן השבר צרף ל-$0$.
בחרו את כל הפונקציות הרציונליות שיש להן אסימפטורה אופקית $y=0$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מעלה המכנה גבוהה יותר → $y=0$. השלישי שווה במעלה, ולכן מתקבל $y=3$ במקום זאת.
האסימפטורה האופקית
- אם $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ (מספר סופי), הישר $y=L$ הוא אסימפטורה אופקית.
- הגרף משטח ונוסע במקביל ל-$y=L$ הרחק מהראשית.
- טריק: לחלק כל איבר בחזקה הגבוהה ביותר של $x$ במכנה, ואז לשלוח $x\to\infty$ (כל $\tfrac1{x^n}\to0$).
- $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}=\dfrac{3+\tfrac1{x^2}}{1-\tfrac5{x^2}}\to\dfrac{3}{1}=3$.
חשב את $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מעלות שוות → יחס מקדם המוביל $\frac31=3$.
גבול סופי באינסוף, $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$, נותן ____ אסימפטוטה $y=L$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הגרף הופך לשטוח לכיוון $y=L$.
השני קצוות עשויים להיות שונים
- פונקציה עשויה להתקרב לערך אחד כאשר $x\to+\infty$ ולערך שונה כאשר $x\to-\infty$.
- $\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$ בצד ימין אך $\to-\tfrac{\pi}{2}$ בצד שמאל — שתי אסימפטורות אופקיות.
- לכן יש לבדוק תמיד את שני הכיוונים; אין להניח סימטריה.
- בניגוד לאסימפטורה אנכית (שבירה באמצע), אסימפטורה אופקית עוסקת במגמה הרחוקה, ועקומה עשויה אף לחצות אותה.
גרף יכול לחצות את האסימפטוטה האופקית שלו באמצע ועדיין להתקרב אליה בקצוות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אסימפטוטות אופקיות מתארות התנהגות רק במרחקים רחוקים; חצייה באמצע מותרת.
עבור $\arctan x$, שני הגבולות $\lim_{x\to+\infty}$ ו-$\lim_{x\to-\infty}$ הם...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שני הקצוות יכולים להיות שונים — כאן ישנן שתי אסימפטוטות אופקיות.
אסימפטורה אנכית ואסימפטורה אופקית הן שני דברים שונים. אנכית ($x=c$): הפלט מתפוצץ בערך נתון — הגרף לעולם לא חוצה אותו. אופקית ($y=L$): המגמה הרחוקה כאשר $x\to\pm\infty$ — הגרף עשוי לחצות אותה באמצע ועדיין להתקרבה אליה בקצוות.
מצאו $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-3x}{5x^2+7}$ ואת האסימפטורה האופקית.
- הדרגות נשואו (שניהם $2$), לכן חלקו ב-$x^2$: $\dfrac{2-\tfrac3x}{5+\tfrac7{x^2}}$.
- כאשר $x\to\infty$, האיברים $\tfrac3x$ וה-$\tfrac7{x^2}$ $\to0$.
- הגבול $=\dfrac{2}{5}$, לכן $y=\tfrac25$ היא האסימפטורה האופקית.
גבולות באינסוף מתארים התנהגות בקצה. עבור רציונליות: המכנה מנצח → $0$; דרגות נשואות → יחס המקדמים הבולטים; המונה מנצח → $\pm\infty$ (אין אסימפטורה אופקית). גבול סופי $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ נותן אסימפטורה אופקית $y=L$, ושני הקצוות עשויים להיות שונים.