הסרת אי-רציפות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| piecewise function/ˈpiːswaɪz ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה מקוטעת |
גישום חור
- בדידה הניתנת להסרה היא חור שבו הגבול קיים אך הערך שגוי או חסר.
- מכיוון שהגבול הוא מספר תקין לחלוטין, ניתן להגדיר מחדש את הפונקציה בנקודה אחת כדי למלא את החור.
- נקבע את ערך הנקודה שווה לגבול – הכעת העקומה זורמת באופן חלק.
- זהו תיקון של הרציפות: אפשרי רק עבור סוג ההסרה.
העקומה מאחורי החור
y = x + 3
הפונקציה המטווחת $y=x+3$ היא קו ישר — מילוי החור פשוט מצייר את הנקודה שבה הקו כבר עובר.
פתרון לקבוע בלתי ידוע
- לעיתים פונקציה מקוטעת מכילה קבוע לא ידוע $k$, ועליך לבחור $k$ כדי שהיא תהיה רציפה.
- הכלל הוא התנאי (3): לעשות את הגבול שווה לערך בנקודת המכפלת.
- נשווה את שני החלקים בנקודת החיבור ונפתור עבור $k$.
- משוואה אחת, משתנה אחד – אלגברה נקייה.
כדי שהפונקציה המקוטעת תהיה רציפה בקו הגבול, השוו את הגבול לערך הפונקציה ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי תנאי הרציפות (3): גבול ערך $=$.
דוגמה מופת פתורה
- נתון כי $f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$ צריכה להיות רציפה ב$x=2$.
- גבול שמאלי: $2+k$. ערך מימני: $3(2)-1=5$.
- הרציחות דורשת $2+k=5$, ולכן $k=3$.
- עם $k=3$ שני החלקים מתחברים בדיוק – אין קפיצה, זו פונקציה רציפה.
עבור $f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$ רציפה ב-$x=2$, מצאו $k$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שוו את הביטויים ב-$2$: $2+k=5\Rightarrow k=3$.
מה לא ניתן לתקן
- רק חורים הניתנים להסרה ניתנים לתיקון – הגבול חייב להיות קיים כבר.
- קפיצה (גבולות חד-צדדים לא שווים) מכילה רווח בעל רוחב אמיתי: אי-הגדרה חד-צדדית אחת אינה מסוגלת לסגור אותו.
- אי-רציפות אינסופית מתפוצצת: אין שום ערך שמרגיע את האסימפטוטה.
- לכן קודם יש לסווג; אם הגבול דו-צדדי חסר, האי-רציפות היא בלתי נמחקת.
איזה סוג של אי-רציפות ניתן להסיר על ידי הגדרה מחדש של נקודה בודדת?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רק הסוג הניתן להסירה בעל גבול דו-צדדי שתואם; מלצות ופיצוצים אינם ניתנים לתיקון.
שיוונית מחדש של $f(c)$ יכולה ליצור גבול דו-צדדי שלא קיים לפני כן.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נקודה בודדת אינה משפיעה על הגבול; אם הצדדים אינם מסכימים, ההגדרה מחדש לא תשנה כלום.
בחרו את כל סוגי האי-רציפות שאין להסיר.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
כל דבר ללא גבול דו-צדדי נשאר כזה; רק חור הניתן להסרה ניתן למילוי.
ניתן "להסיר" אי-רציפות רק כאשר הגבול הדו-צדדי קיים כבר. אם הגבולים ממשמאל ומימין שונים, הקצאת $f(c)$ לכל מספר תשאיר צדדים אלו במחלוקת — הפונקציה תישאר לא רציפה. שינוי הערך בנקודה לעולם אינו יוצר גבול שלא היה קיים לפני כן.
כדי לסלק את החור של $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ ב-$x=5$, הגדירו $f(5)$ שווה לגבול. מה הערך?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
גבול $=\lim_{x\to5}(x+5)=10$, ולכן $f(5)=10$.
מצאו $c$ כך ש $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3},&x\neq3\\ c,&x=3\end{cases}$ תהיה רציפה ב $x=3$.
- הגבול: $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$.
- רציפות דורשת $c=\lim_{x\to3}f(x)=6$.
- הקצאת $c=6$ ממלאה את החור; $f$ היא כעת רציפה ב $3$.
אי-רציפות הניתנת להסרה מתוקנת על ידי שינוי $f(c)$ כדי שתהיה שווה לגבול (הקיים). עבור פונקציה מקטועת עם קבוע לא ידוע, שווו את המקטעים זה לזה בנקודת החיבור — גבול $=$ הערך — ופתרו. אי-רציפות קפיצה ואי-רציפות אינסופית אין להן גבול דו-צדדי, ולכן הן לא ניתנות להסרה.