אישור רציפות על פני קטע
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| interval/ˈɪntəvl/ | מרווח |
| domains/dəˈmeɪnz/ | תחומי הגדרה |
מנקודה אחת למרווח שלם
- רציפות בנקודה בודדת היא טובה; לרוב אנו רוצים אותה לאורך מרווח.
- פונקציה היא רציפה במרווח אם היא רציפה בכל נקודה בפניםי שלו.
- זה מה שמאפשר לך לשרטט את כל המרווח מבלי להרים את העט.
- שתי עדינות: כיצד להתנהל עם נקודות הקצה, ואילו פונקציות מוכרות הן רציפות באופן אוטומטי.
רציף לאורך כל התחום
y = ax³ + bx
פולינום הוא רציף בכל קטע — אין בו חורים, קפיצות או התפשטויות אינסופית.
פתוחים מול סגורים
- על קטע פתוח $(a,b)$: בדוק את רציפות בשלושה תנאים בכל נקודה פנימית.
- על קטע סגור $[a,b]$: טפל גם בקצוות, שם ניתן להתקרב רק מצד אחד.
- בקצה השמאלי $a$, דורש רציפות מימנית: $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$.
- בקצה הימני $b$, דורש רציפות משמאל: $\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$.
בנקודה $a$ (שמאלית) של הקצה השמאלי של קטע סגור $[a,b]$, הרציפות דורשת...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אפשר לגשת לנקודה השמאלית רק מהימין, ולכן נדרשת רציפות מימנית.
עבור $f(x)=\sqrt x$ על $[0,9]$, בדיקת הרציפות השמאלית בקצה הימני דורשת $\lim_{x\to9^-}\sqrt x$. מהו ערך זה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt 9 = 3$, שמקבל את הערך $f(9)$, ולכן $f$ רציף משמאל.
הפונקציות "המוכנות" לרציפות
- בתחומיהן הטבעיים, משפחות אלו רציפות בכל מקום:
- פולינומים — רציפים לכל המספרים ממשי $x$.
- פונקציות רציונליות, אקספוננציאליות, לוגריתמיות וטריגונומטריות — רציפות בכל מקום בו הן מוגדרות.
- כלומר, פונקציה רציונלית היא רציפה אלא במקום בו המכנה הוא אפס; $\ln x$ רציפה עבור $x>0$.
איזה פונקציה רציפה עבור כל המספרים הממשיים $x$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פולינומים רציפים בכל מקום; האחרים מכילים פער בתחום ההגדרה.
בחרו את כל משפחות הפונקציות הרציפות בתחום ההגדרה הטבעי שלהן.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ארבעת אלו רציפים בכל תחום ההגדרה שלהם — התחום פשוט מכיל בדיקה נקודות בעייתיות (למשל: רציונלית באפסים של המכנה).
למה זה חשוב: פותח שערים לתורות
- רציפות על קטע סגור היא הכניסה לתורות הגדולות הבאות.
- תורת הערך הביניים (1.16) ותורת הערך הקיצוני (יחידה 5) דורשות רציפות על $[a,b]$.
- אם דילגת על בדיקת הרציפות, התורות הללו פשוט אינן חלות — זהו מלכודת תרגילים נפוצה במבחנים.
- לכן, האישור על רציפות לאורך קטע אינו עבודה שוטפת; זו ההנחה עליה עומדים כל שאר הדברים.
$f(x)=\dfrac1x$ רציף על הקטע $[-1,1]$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$0\in[-1,1]$ ו-$f$ מתפשטים שם, ולכן הם אינם רציפים על קטע זה.
רציפות על קטע סגור היא הנחה נדרשת של משפט הערך ה____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
משפט ערך הביניים (ומשפט ערך הקיצוני) דורשים רציפות על $[a,b]$.
"רציפה בתחום ההגדרה" אינה אותו דבר כמו "רציפה בכל מקום." $f(x)=\dfrac1x$ רציפה בתחום ההגדרה שלה (כל $x\neq0$), אך היא אינה רציפה ב$[-1,1]$ כי $0$ נמצא בטווח הזה ו$f$ מתפוצץ שם. תמיד ודא שהטווח נמנע מאזורי הבעיה.
האם $f(x)=\sqrt{x}$ רציפה על $[0,4]$?
- נקודה פנימית $(0,4)$: $\sqrt x$ רציפה (פונקציה סטנדרטית בתחום ההגדרה). ✓
- קצה שמאלי $0$: $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\sqrt x=0=f(0)$ — רציף מימינה. ✓
- קצה ימני $4$: $\displaystyle\lim_{x\to4^-}\sqrt x=2=f(4)$ — רציף משמאלו. ✓
- לכן $f$ רציפה בקטע הסגור $[0,4]$.
$f$ רציף על קטע כאשר היא רציפה בכל נקודה פנימית, תוך שימוש ברציפות חד-צדדית בקצוות הקטע הסגור. פולינומים, פונקציות רציונליות, אקספוננציאליות, לוגריתמיות וטריגונומטריות רציפות בתחומיהן. רציפות זו על הקטע היא ההנחה עליה נשענים משפט הערכים הביניים ומשפט הערך הקיצוני.