חקירת סוגי אי-רציפות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| discontinuity/dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | נקודת אי-רציפות |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | נקודת אי-רציפות הניתנת לטיפול |
| jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | נקודת קפיצה |
| infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | נקודת אי-רציפות אינסופית |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה אנכית |
היכן הגרף "נשבר"
- עקומה רציפה ניתן לשרטט ללא הרמת העט מהנייר. אי-רציפות היא הפסקה בזרימה זו.
- לא כל השברים זהים – קיימות שלוש סוגים נפרדים, ולכל אחד מהם חתימת גרף ייחודית.
- זיהוי הסוג מאפשר להבין מיד האם השבר ניתן לתיקון.
- בואו נתכנס לשלושת הסוגים: ניתן לסילוק, דליחה ואינסופי.
ניתן לסילוק: נקודה אחת חסרה
- אי-רציפות ניתנת לסילוק היא פשוט חור בעקומה חלקה אחרת.
- הגבול קיים (משני הצדדים מתכנסים בגובה אחד), אך $f(c)$ חסר או מצויר במקום אחר.
- ל-$f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ יש חור ב-$x=2$: הגבול הוא $4$, אך $f(2)$ אינו מוגדר.
- מכיוון שהגבול קיים, ניתן "למלא את החור" – ומכאן ניתן לסילוק (שיעור 1.13).
בערך $x=3$, הפונקציה $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ יש גבול של $6$ אך הערך $f(3)$ מוגדר. האי-רציפות היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גבול קיים אך הערך חסר — חור, כלומר נשלפת.
דליחה: הצדדים אינם מסכימים
- אי-רציפות דליחה מתרחשת כאשר הגבולות משמאל ומימין הם שניהם סופיים אך שונים.
- הגרף מקפוץ מגובה אחד לגובה אחר – תחשבו במעלה מדרגות או ברמת מיסוי.
- כאן $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ לא קיים, כי הגבולות חד-צדדיים אינם מסכימים.
- אין נקודה אחת שיכולה לגשר על פער בעל רוחב שאינו אפסי, ולכן הדליחה אינה ניתנת לסילוק.
עקומה שמתפוצצת
y = a / (x − b)
הפונקציה ההופכות מתקרבת ל$\pm\infty$ כשהמכנה שלה מגיע לאפס — זהו אי-רציפות אינסופית ואסימפטוטה אנכית.
אי-רציפות קפיצה ניתנת לטיפול על ידי הגדרת מחדש של הפונקציה בנקודה היחידה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הגבולות דו-צדדיים שונים, ולכן אין ערך יחיד שמחבר את הרווח — קפיצים אינם ניתנים לטיפול.
פונקציית מדרגה מקבלת ערך $1$ עבור $x<0$ וערך $4$ עבור $x\ge0$. מהו גודל הקפיצה בנקודה $x=0$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ימין פחות שמאל: $4-1=3$.
אינסופי: אל עבר $\pm\infty$
- אי-רציפות אינסופית היא הנקודה שבה הפונקציה גדלה ללא גבול בקרבת $c$.
- הגרף מתרסק למעלה או למטה לאורך אסימפטוטה אנכית – כפי שקורה ב-$f(x)=\dfrac1{x-2}$ ב-$x=2$.
- הגבול הוא אינסופי (או שאינו קיים), ולכן הפסקה זו היא גם לא הסרנית.
- חתימה: מכנה ששואף לאפס בעוד שמנופה אינו שואף לאפס.
אי-רציפות אינסופית מופיעה בגרף כאסימפטוטה אנכית ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפונקציה גדלה ללא גבול לאורך האסימפטוטה האנכית.
אילו סוגי אי-רציפות הם היחידים בהם קיים גבול דו-צדדי?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ניתן לטיפול = חור שבו שני הצדדים מסכימים, ולכן הגבול קיים.
בחרו את כל הפונקציות עם אי-רציפות אינסופית בנקודה המסומנת.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
השלישית ניתנת לטיפול (גבול $=2$). השאר מתפוצצות ל$\pm\infty$.
רק סוג הסרני כולל גבול דו-צדדי אמיתי. עבור פסקות קפיצה ואינסופיות, הגבול אינו קיים, ולכן אין שום הגדרה מחדש חכמה בנקודה יחידה שתגרום לפונקציה להיות רציפה. אל תנסו "למלא" קפיצה — לחץ יש רוחב אמיתי.
מיינות את סוג הפסקה בכל נקודה המסומנת:
- $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ בנקודה $x=3$: גבול $=6$, ערך לא מוגדר → הסרני (חור).
- $f(x)=\begin{cases}1,&x<0\\2,&x\ge0\end{cases}$ בנקודה $x=0$: שמאלי $\to1$, ימینی $\to2$ → קפיצה.
- $\dfrac{1}{x^2}$ בנקודה $x=0$: גדל לכוון $+\infty$ → אינסופי.
שלושה סוגי פסקה: הסרני (חור — הגבול קיים אך $f(c)$ אינו תואם), קפיצה (גבולות חד-צדדיים סופיים שאינם תואמים), ואינסופי (בלתי מוגבל בסביבת $c$, אסימפטוטה אנכית). רק לסוג ההסרני יש גבול דו-צדדי, ולכן רק הוא ניתן לתיקון.