קביעת גבולים באמצעות תכונות אלגבריות של גבולים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| limit laws/ˈlɪmɪt lɔːz/ | חוקי גבולות |
| direct substitution/daɪˈrekt ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | הצבה ישירה |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | פולינום |
| rational/ˈræʃənl/ | רציונלי |
| indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/ | צורה לא מוגדרת |
החוקים האלגבריים לגבול
- ברגע שידעת את הגבולות של שתי פונקציות, ניתן לשלב אותן כמו מספרים רגילים.
- כל עוד $f$ ו$g$ שואפים למשהו, הסכום שלהם שואף לסכום של יעדים אלו.
- אותו הדבר עובד לחיסורים, מכפלות, ולחלוקות (בקפדה).
- אלו ה-חוקי הגבול — הם מאפשרים לך לפצל גבול מבולגן לחלקים פשוטים.
חוקי הגבול, במקום אחד
- נניח $\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$ ו$\displaystyle\lim_{x\to c} g(x)=M$. אז:
- סכום / הפרש: $\lim (f\pm g) = L\pm M$.
- מכפלה: $\lim (f\cdot g) = L\cdot M$; כפולה קבועה: $\lim (k f)=kL$.
- מנה: $\displaystyle\lim \frac{f}{g}=\frac{L}{M}$, בתנאי $M\neq 0$.
נתון $\lim f = 6$ ו-$\lim g = 3$, מצאו $\lim \dfrac{f}{g}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
חוק המנה (גבול המכנה $3\neq0$): $\frac{6}{3}=2$.
חוק המנה $\lim\frac fg=\frac LM$ דורש כי $M$, הגבול של המכנה, אינו ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אם $M=0$ החוק אינו חל ישירות — ייתכן שתקבל צורה לא מוגדרת.
הצבה ישירה: הכביש המהיר
- עבור פונקציית פולינום או פונקציה רציונלית, חוקי הגבול מתלכדים למהלך אחד: פשוט הצב $c$ במקום.
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}(x^2-2x+1) = 3^2-2(3)+1 = 4$ — ללא טבלאות, ללא גרפים.
- הצבה ישירה עובדת בכל פעם שהפונקציה מוגדרת ורציפה בנקודה $c$.
- זו תמיד הפעם הראשונה שיש לנסות — היא מהירה ביותר כאשר מצליחה.
לפולינום אין הפתעות
y = ax² + bx + c
פולינומים חלקים בכל מקום — גררו את המקדמים והבין מדוע ההצבה ב$c$ (הצבה ישירה) פשוט נותנת את הגובה.
חשב את $\displaystyle\lim_{x\to 2}(3x^2 - x + 4)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הצבה ישירה: $3(4)-2+4 = 14$.
לאילו גבולים הצבה ישירה נותנת את התשובה מיידית?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הגבול השלישי נותן $\tfrac00$ (גבול מכנה $0$) ולכן ההצבה נתקעת; האחרים נותנים ערך סופי מיד.
כשההצבה נתקעת
- אם תציב, ייתכן שתגיע ל$\dfrac{0}{0}$: צורה לא מוגדרת (indeterminate form).
- "לא מוגדר" אינו אומר שהגבול אינו קיים — זה אומר שההצבה לבדה אינה מספיקה להחלטה, ונדרשת עוד עבודה (ברשיעיה הבאה).
- השתמש בזהירות בחוק המנה: הוא דורש $M\neq0$. אם גבול המכנה הוא $0$, החוק אינו חל באופן ישיר.
- לכן: נסה הצבה תחילה; אם התוצאה היא מספר אמיתי, הסתכלתי; אם התוצאה היא $\tfrac00$, שנה אסטרטגיה.
הצבה ישירה נותנת $\tfrac00$. המשמעות היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac00$ הוא ביטוי אינו-סופי: סימן לעשות אלגברה, ולא תשובה סופית.
כשמתקלים בגבול חדש, הצבה ישירה היא הדרך הנכונה הראשונה לנסות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זהו הדרך המהירה ביותר כשהיא מצליחה; מעבר לסטרגיה אחרת רק אם היא מובילה לצורה לא מוגדרת.
$\dfrac{0}{0}$ היא צורה לא מוגדרת, ולא "אפס" ולא "לא מוגדר-ולכן DNE". זו אות שאומר שהגבול מוסתר ועליך לפשט אותו תחילה. אל תדווח ב$\tfrac00$ כתשובה, ואל תסיק שהגבול אינו קיים — $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$ היא $\tfrac00$ בהצבה אך שווה ל$4$.
מצא את $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2+3}{x+4}$.
- גבול המונה: $2(1)^2+3 = 5$. גבול המכנה: $1+4 = 5$.
- גבול המכנה הוא $5\neq 0$, ולכן חוק המנה חל.
- $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2+3}{x+4} = \dfrac{5}{5} = 1$ על ידי הצבה ישירה.
חוקי הגבול מאפשרים לפצל גבול סביב סכומים, הפרשים, מכפלות ומנות (המנה דורשת גבול מכנה שאינו אפס). עבור פולינומים ופונקציות רציונליות הדבר מתקצר להצבה ישירה — תמיד נסה זאת תחילה. תוצאה של $\tfrac00$ היא צורה לא מוגדרת: לא תשובה, אלא אות לפישוט.