הגדרת גבולות ושימוש בסימון גבול
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| limit/ˈlɪmɪt/ | גבול |
| approaches/əˈprəʊtʃɪz/ | מתקרב |
| one-sided limit/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | גבול חד-צדדי |
| left-hand/left hænd/ | מצד שמאל |
| right-hand/raɪt hænd/ | מצד ימין |
| two-sided limit/tuː ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | גבול דו-צדדי |
לאן הגרף שואף?
- שוכחים לרגע בנקודה הבודדת — שואלים לאן העקומה שואפת כשמושיטים $x$ לכיוון ערך.
- מעקבים אחר $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ כש$x$ מתקרב ל$1$. מכניסים $x=1$ וקבלים $\tfrac{0}{0}$ — לא מוגדר.
- עם זאת, התוצאות הולכות ומתקרבנות באופן יציב ל$2$: $f(0.9)=1.9$, $f(0.99)=1.99$, $f(1.01)=2.01$.
- לפונקציה יש חור ב$x=1$, אך ברור שהיא שואפת ל$2$. ערך היעד הזה הוא הגבול.
שים לב לאן הכיף נועד
y = ax² + bx + c
גרור את המקדמים ובחר כניסה $c$ בדמיוך — הגבול הוא הגובה שהכיף מתקרב אליו בסמוך ל$c$, ולא הנקודה עצמה.
כתיבת הביטוי: סימון גבול
- אנחנו כותבים $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = L$ וקוראים אותו "הגבול של $f$ של $x$, ככל ש-$x$ מתקרב ל$c$, שווה ל$L$."
- $c$ הוא הקלט שאנו שואפים אליו; $L$ הוא הפלט אליו פונה הפונקציה.
- קריטי להבין כי $x \to c$ משמעותו "מתקרב ל-$c$" — לעולם "שווה ל-$c$". אנחנו נשארים מחוץ לנקודה עצמה.
- לדוגמה שלנו: $\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$, גם אם $f(1)$ אינו מוגדר.
הסימון $\lim_{x \to c} f(x) = L$ אומר שאם $x$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x \to c$ אומר ש$x$ מתקרבת ל$c$ מבלי לגעת בה, ו$f(x)$ נועדת ל$L$.
חשב את $\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
פריקה: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ עבור $x\neq3$, שמגיע ל$3+3=6$.
הגעה מצד שמאל ומצד ימין
- ניתן לגשת ל-$c$ בשני כיוונים, ולכל כיוון יש גבול חד-צדדי משלו.
- מהצד התחתון ($x$ מעט קטן יותר מ-$c$): ה-גבול מימני, $\displaystyle\lim_{x \to c^-} f(x)$.
- מלמעלה ($x$ מעט יותר מ$c$): הגבול מימין, $\displaystyle\lim_{x \to c^+} f(x)$.
- הסימנים הקטנים $-$ ו-$+$ ממוקמים בגובה על $c$ כדי להציג את כיוון ההתקרבנות.
אילו ביטוי מייצג את הגבול מימין של $f$ בנקודה $c$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המעלה $+$ על $c$ מצביעה על כך ש-$x$ מתקרב מלמעלה — כלומר, מהצד הימני.
שני הצדדים חייבים להסכים
- ה-גבול דו-צדדי הרגיל $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x)$ קיים רק כאשר שני הגבולים החד-צדדיים קיימים וגם שווים זה לזה.
-
$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = L \iff \lim_{x \to c} f(x) = L$$
- אם הצד השמאלי שואף לערך אחד והצד הימני לערך אחר, הגבול הדו-צדדי אינו קיים (DNE).
גבול דו-צדדי ב$c$ קיים רק כאשר הגבול מהימין והגבול משמאל קיימים גם שניהם ו____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שני הגבולות הצדדיים חייבים להסכים על ערך יחיד $L$.
בחר בכל המצבים שבהם $\lim_{x\to c} f(x)$ לא קיים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
גבול נכשל כאשר הצדדים אינם מסכימים, הערך אינו מוגבל, או שהוא מתנודד. אי-התאמה עם $f(c)$ לבדה אינה מבטלת את הגבול — היא רק שוברת רציפות.
הגבול עוסק ב-מסע, ולא בנקודת היעד. $\lim_{x \to c} f(x)$ יכול להיות קיים גם כאשר $f(c)$ אינו מוגדר, והוא יכול להתבדל מ-$f(c)$ כאשר הנקודה מופיעה במיקום כלשהו מחוץ לעקומה. לעולם אל תניחו $\lim_{x\to c} f(x)=f(c)$ — זו מקרה פרטי (רציפות), ולא חוק.
אם $f(c)$ אינו מוגדר, אזי $\lim_{x \to c} f(x)$ לא יכול להתקיים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הגבול עוסק בקירוב, לא בנקודה. $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$ גם אם $f(1)$ אינו מוגדר.
לפונקציה חלקית, $\displaystyle\lim_{x\to 2^-} f(x) = 3$ ו-$\displaystyle\lim_{x\to 2^+} f(x) = 5$.
- הצד השמאלי שואף ל-$3$; הצד הימני שואף ל-$5$.
- הם לא מסכימים, ולכן $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ אינו קיים — הגרף קופץ ב-$x=2$.
- הדבר נכון ללא תלות בערך (או בהיעדרו) המוצג ב-$x=2$.
$\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$ אומר ש-$f(x)$ מתקרב ל-$L$ כאשר $x$ מתקרבת ל-$c$ מ-שתי הצדדים — מבלי לגעת לעולם ב-$c$. הגבול הדו-צדדי קיים אם ורק אם הגבול מימין והגבול משמאל קיימים ושניהם שווים. הגבול מתאר לאן הפונקציה שואפת, דבר שאינו חייב להיות שווה ל-$f(c)$.